Supongamos que $f$ es entera y que para cada $z$ , ya sea $|f(z)| \le 1$ o $|f'(z)| \le 1$ . ¿Cómo puedo demostrar que $f$ es un polinomio lineal?

Question

Supongamos que $f$ es entera y que para cada $z$ , ya sea $|f(z)| \le 1$ o $|f'(z)| \le 1$ . ¿Cómo puedo demostrar que $f$ es un polinomio lineal?
Lo que he probado: He intentado utilizar la integral de líneas para mostrar $$|f(z)| \le A + |z|$$ donde $A = max(1, |f(0)|)$
Sin embargo, no estaba satisfecho con mi enfoque. Estoy deseando saber cómo lo abordas tú.

Answer 1

Necesitas el teorema de Liouvilles, que dice que toda función entera y acotada debe ser constante.
Esto implica que $f(z)=c_1$ o $f'(z)=c_2$ . ¿Puedes terminar desde aquí?