¿Cómo entra en conflicto la gravitación newtoniana con la relatividad especial?

Question

En el artículo de Wikipedia Teoría clásica de campos (Gravitación) dice

Después de que se descubriera que la gravitación newtoniana era incompatible con la relatividad especial, .

No veo cómo la propia gravitación newtoniana es inconsistente con la relatividad especial. Después de todo, la Ley Universal de Gravitación de Newton es completamente análoga a la Ley de Coulomb, por lo que parecería que, si hubiera un "campo magnético gravitacional" análogo, se podría formular una teoría de la gravitación en analogía exacta con la Teoría del Electromagnetismo de Maxwell, y por supuesto, esto sería automáticamente consistente con la Relatividad Especial.

¿Qué es lo que no funciona de este enfoque de la gravitación? El único problema que podría ver con esto es la falta de evidencia de un "campo magnético gravitacional". Dicho esto, la gravedad es "débil" tal y como es, y mi opinión es que sería extremadamente difícil montar un experimento en el que un masiva el cuerpo se movía rápido suficiente para que este "efecto de campo magnético" sea observable.

EDIT: Como se me ha señalado en las respuestas, el propio Newton es inconsistente con la RS. Sin embargo, también lo es la Ley de Coulomb, aunque el electromagnetismo sigue siendo consistente con la RS. Por lo tanto, cómo sabemos que no es el caso que la Ley de Newton es el caso especial "estático" de una teoría gravitomagnética más general exactamente análoga a la Teoría de Maxwell:

Dejemos que $\mathbf{G}$ sea el campo gravitatorio, y que $\rho$ sea la densidad de masa, y $\mathbf{J}$ sea la densidad de corriente de la masa, y que $\gamma _0$ se defina de manera que $\frac{1}{4\pi \gamma _0}=G$ la Constante de Gravitación Universal, sea $\nu _0$ se defina de manera que $\frac{1}{\sqrt{\gamma _0\nu _0}}=c$ y supongamos que existe un campo $\mathbf{M}$ El campo gravitomagnético, de modo que se cumplen las siguientes ecuaciones: $$\vec{\nabla}\cdot \mathbf{G}=-\frac{\rho}{\gamma _0}$$ $$\vec{\nabla}\cdot \mathbf{M}=0$$ $$\vec{\nabla}\times \mathbf{G}=-\frac{\partial \mathbf{M}}{\partial t}$$ $$\vec{\nabla}\times \mathbf{M}=\nu _0\mathbf{J}+\gamma _0\nu _0\frac{\partial \mathbf{G}}{\partial t}$$ donde estos campos producirían en una masa $m$ moviéndose con velocidad $\mathbf{v}$ en nuestro marco de inercia la fuerza de Lorentz $\mathbf{F}=m\left( \mathbf{G}+\mathbf{v}\times \mathbf{M}\right)$ . Esta teoría sería automáticamente consistente con la RS y se reduciría a la Ley de Gravitación de Newton para el caso de la gravitostática: $\frac{\partial \mathbf{G}}{\partial t}=\frac{\partial \mathbf{M}}{\partial t}=\mathbf{J}=0$ . (Para que quede claro, no se pueden establecer las derivadas de tiempo iguales a $\mathbf{0}$ como parece que he hecho yo. Al hacerlo, se obtiene la correspondiente teoría estática, que es técnicamente incorrecto (como se puede ver fácilmente porque no será invariante relativista), pero sin embargo es a menudo un útil aproximación .)

Mi pregunta puede formularse así: sin apelar directamente a la RG, ¿qué tiene de malo esta teoría?

Answer 1

La gravitación newtoniana no es más que la afirmación de que la fuerza gravitatoria entre dos objetos obedece a una ley de distancia inversa al cuadrado, es proporcional a las masas y se dirige a lo largo de la línea que los une. Como tal, implica que la interacción entre los objetos se transmite de forma instantánea y debe ser incompatible con la relatividad especial (RS).

Si, por ejemplo, el Sol empezara a alejarse repentinamente de la Tierra a una velocidad muy cercana a la de la luz, la RS dice que la Tierra debe seguir moviéndose como si el Sol estuviera en su antigua posición hasta unos 8 minutos después de haber empezado a moverse. Por el contrario, la gravitación newtoniana predeciría una desviación instantánea de la Tierra de su antigua órbita.

Lo que has descubierto en tu razonamiento es que, efectivamente, la Ley de Coulomb tampoco es invariante relativista. Pero el electromagnetismo de Maxwell no es la Ley de Coulomb.

De hecho, la Ley de Coulomb se deduce de Ecuaciones de Maxwell como un caso particular. Las suposiciones son las de la electrostática, es decir, que el campo magnético es nulo y que el campo eléctrico es constante en el tiempo. Estas suposiciones conducen al campo de Coulomb, pero NO son consistentes con SR en el sentido de que no pueden ser válidas en todos los marcos de referencia, ya que si el campo eléctrico es constante en un marco de referencia, entonces existe otro marco en el que será variable y el campo magnético será diferente de cero. Para más información puedes empezar a leer este . El electromagnetismo de Maxwell ES consistente con la RS ya que las ecuaciones completas de Maxwell se aplican en todos los marcos de referencia, sin importar si la partícula se mueve o no.

La relatividad general es el análogo para la gravedad del electromagnetismo de Maxwell y, como ya se ha dicho, conduce a ecuaciones para el campo gravitatorio (la métrica) análogas a las de Maxwell. Por lo tanto, no es extraño que aparezca algo parecido al magnetismo gravitacional.

Answer 2

La razón por la que tu teoría falla es porque las cargas similares se repelen, mientras que las masas similares se atraen. Estás utilizando una teoría de espín 1, y para conseguir la atracción, necesitas espín 0 o espín 2. La teoría de la gravedad de espín 0 no conduce a la dispersión de la luz, y se llama gravedad de Nordstrom. La teoría de espín 2 es la RG, y tiene más campos "magnéticos" que sólo EM.

Answer 3

Es una pregunta muy interesante la que planteas y, de hecho, ese es el espíritu de ser físico. De hecho, hay muchas cosas que están mal en esa nueva teoría que has escrito y todas ellas se pueden resumir diciendo: "tu teoría está en franca contradicción con el experimento" que, por supuesto, es lo que está mal en toda teoría errónea.

Por ejemplo, sin dejar la electrostática, su teoría predice que una masa puntual estática da lugar a un $1/r^2$ campo gravitacional, es decir, un $1/r$ potencial gravitacional. Por lo tanto, su teoría predice órbitas keplerianas y esto sabemos que no es cierto. En la teoría correcta de la gravitación, la Relatividad General, el potencial gravitatorio de una masa puntual resulta ser (a grandes rasgos) $1/r$ más algunos términos de corrección que van como $1/r^2$ y $1/r^3$ . Es cierto que estos términos son proporcionales al momento angular de la partícula sonda, pero una partícula que no se mueve radialmente no describirá una cónica.

Lo importante es que esto ha sido bellamente confirmado por midiendo con gran precisión las órbitas de Mercurio ¡! Por lo tanto, su teoría debe estar equivocada.

Y lo que es más importante, su teoría acopla el "campo gravitomagnético" con la corriente de masa. Por lo tanto, clásicamente, tu teoría no tiene efecto sobre nada sin masa, ¡así que tu teoría no puede afectar a los fotones! Esto está de nuevo en contradicción plana con la desviación de los fotones por las grandes masas. Podrías intentar remediarlo acoplando la teoría a una corriente de energía, por ejemplo, en lugar de $\rho$ siendo la densidad de masa se puede tomar la densidad de energía. Tendría que comprobarlo pero creo que seguiría obteniendo la desviación incorrecta.

Hasta qué punto su teoría se asemeja a la gravedad puede responderse con precisión, pero llevaría algún tiempo. Un poco más técnico, su teoría es en realidad una $U(1)$ teoría gauge de la gravedad. Probablemente alguien haya pensado en esto antes. Habría que partir del Lagrangiano tanto para tu teoría como para la RG y encontrar qué relaciones pueden existir entre tu cuatro-potencial y la métrica.

Answer 4

Existe el campo magnético gravitacional, si te mueves a través de un campo estático muy rápido. Busca en Google el gravitomagnetismo.

La razón principal por la que la relatividad general no es la misma es porque no se cumple la ley de Gauss equivalente. La relatividad general no es lineal: los campos gravitatorios tienen energía y, por tanto, actúan como fuentes de más campo.

Answer 5

Quiero abordar con más detalle por qué no podemos tomar cualquier forma modificada obvia de las ecuaciones de Maxwell y asumir que se aplica al campo gravitatorio $\vec{g}$ junto con un campo hipotético $\vec{m}$ que acompaña a $\vec{g}$ del mismo modo que el campo magnético acompaña al campo eléctrico, con la masa gravitatoria como carga. Hay razones válidas que implican el principio de equivalencia, la precesión de la órbita de Mercurio o la desviación de la luz por la gravedad, pero quiero intentar explicar algo diferente a todo eso. No he visto a nadie explicar esto explícitamente, así que espero que cualquiera que lea esto pueda dar una mirada crítica y decirme si hay algún error.

Por decirlo brevemente, la más sencilla reformulación de la teoría de Maxwell con cargas similares que se atraen es incompatible con un universo estable. Tal teoría no tendría energía positiva-definida y tendría soluciones catastróficas. Mi post se basa en este otro post Aunque aquí seré un poco más general para acomodar la posibilidad del OP. Pido disculpas si algunas partes de la argumentación parecen un poco confusas.

Supongamos que tenemos campos $\vec{E}$ , $\vec{B}$ tal que $$\begin{align*} \nabla\cdot\vec{E} &= s_{1}\frac{\rho}{\epsilon_{0}},\qquad\qquad\qquad && \nabla\times\vec{E} = s_{2}\partial_{t}\vec{B}, \\ \nabla\cdot\vec{B} &= 0, && \nabla\times\vec{B} = s_{3}\mu_{0}\vec{J} + s_{4}\mu_{0}\epsilon_{0}\partial_{t}\vec{E} \end{align*}$$ donde $\epsilon_{0}, \mu_{0}$ son constantes positivas y $s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}\in\{-1, +1\}$ y supongamos que las cargas responden a los campos mediante la ley de fuerza de Lorentz $\vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{v}\times\vec{B})$ .

Algunas notas.

• Si queremos considerar una versión modificada de la ley de fuerza de Lorentz con signos negativos (por ejemplo, supongamos $\vec{F} = -q\vec{E} + q(\vec{v}\times\vec{B})$ ), podemos redefinir los campos E y B de forma que los signos menos de la ley de fuerza se trasladen a $s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}$ en consecuencia. Por lo tanto, es seguro dar por sentada la ley de fuerza de Lorentz original.
• Como puede adivinar, en una hipotética teoría de la gravedad $\vec{E}$ serviría como campo gravitatorio $\vec{g}$ , $s_{1}$ sería $-1$ y $\epsilon_{0}$ sería $1/4\pi G$ donde $G$ es la constante gravitacional de Newton. En esta teoría, las cargas representan las masas gravitacionales.

Procedemos de la siguiente manera:

1. Aplicando la divergencia a la cuarta ecuación (ecuación inferior derecha), sustituyendo luego la primera ecuación (ecuación superior izquierda) y dividiendo luego por $\mu_{0}$ obtenemos $$0 = s_{3}\nabla\cdot\vec{J} + s_{4}s_{1}\partial_{t}\rho.$$ Esto se parece mucho a la ecuación de conservación de la carga (o a la ecuación de continuidad). Es posible que la masa gravitatoria no se conserve (después de todo sabemos que no se conserva por el principio de equivalencia y la equivalencia masa-energía). Sin embargo, si los dos términos de la ecuación de continuidad tuvieran signos opuestos , haría que la ecuación no tuviera sentido, porque si la carga positiva se acumulara en un lugar ( $\nabla\cdot\vec{J} < 0$ ), que provocaría la carga de disminuir en ese lugar ( $\partial_{t}\rho < 0$ ). Para que la ecuación sea sensata, debemos tener $s_{3} = s_{4}s_{1}$ .

2. Considere las soluciones de vacío con $\rho=0$ y $\vec{J} = 0$ . Aplicando el rizo a la tercera ecuación (ecuación superior derecha) y sustituyendo la cuarta ecuación (ecuación inferior derecha), obtenemos $$\nabla\times(\nabla\times\vec{E}) = s_{2}s_{4}\mu_{0}\epsilon_{0}\partial_{t}^{2}\vec{E}.$$ El LHS es $\nabla(\nabla\cdot\vec{E}) - \nabla^{2}\vec{E}$ y suponiendo que no hay cargas, se reduce a $-\nabla^{2}\vec{E}$ . Entonces obtenemos $$- \nabla^{2}\vec{E} = s_{2}s_{4}\mu_{0}\epsilon_{0}\partial_{t}^{2}\vec{E}.$$ Ahora bien, si $s_{2}s_{4} = 1$ entonces si cualquier componente de $\vec{E}$ es cóncavo hacia abajo (o cóncavo hacia arriba) en cualquier punto del espacio, el componente será conducido arriba (respectivamente abajo ), y en términos generales esto conduce a una mayor exageración de la concavidad. Esto lleva a una solución de fuga en la que los componentes de $\vec{E}$ pueden enviarse a sí mismos a $\pm\infty$ en cualquier punto del espacio. Esta es una de las inestabilidades que hace que la teoría de campo no sea sensata. Por tanto, nos vemos obligados a concluir $$s_{2}s_{4} = -1.$$

3. Considera una carga que va en círculo. En el caso de la electrodinámica, es natural considerar esto cuando se tiene un bucle de corriente. En el caso de la gravedad, es natural considerarlo cuando se tiene un planeta en rotación. Supongamos que tenemos una carga que va en sentido contrario a las agujas del reloj "desde la vista superior". Si $s_{3} = -1$ , entonces esto genera un campo B tal que entra en el bucle desde la parte superior. Si además $s_{2} = -1$ , entonces esto a su vez crea un campo E que va en sentido contrario a las agujas del reloj desde la vista superior. Como $\vec{F} = q\vec{E}$ Esto lleva a la carga a ir más rápido en sentido contrario a las agujas del reloj, lo que a su vez crea más campo B, y esto crea una retroalimentación que hace que el bucle de corriente o, en el caso de la gravedad, el planeta en rotación sea inestable. De nuevo se trata de una inestabilidad que hace que la teoría del campo no sea sensata. Un razonamiento similar muestra que lo mismo ocurre si $s_{3} = s_{2} = +1$ . Por lo tanto, nos vemos obligados a concluir que $s_{2}$ y $s_{3}$ tienen signos opuestos y así $$s_{2}s_{3} = -1.$$

Hasta ahora hemos demostrado que si la gravedad sigue las ecuaciones de Maxwell con signos modificados (y constantes modificadas), entonces las conclusiones de #1, #2 y #3 deben mantenerse. Pero ahora consideremos lo siguiente. Por #2 y #3, tenemos $s_{3} = -s_{2} = s_{4}$ . Con el número 1, tenemos $s_{1}s_{3}s_{4} = +1$ . Desde $s_{3}$ y $s_{4}$ son iguales (como $\pm 1$ ), se deduce que $s_{3}s_{4} = +1$ . Por lo tanto, $s_{1} = +1$ .

Por lo tanto, cuando volvemos a las ecuaciones de Maxwell modificadas, vemos que la primera ecuación debe tener un signo positivo $s_{1} = +1$ . Pero en el caso de la estática, esto implica que la ley de fuerza correspondiente $$\vec{F} = s_{1}\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \hat{r}$$ debe tener $s_{1}/(4\pi\epsilon_{0}) > 0$ , lo que significa que como cargos repelen. Como en el caso de la gravedad debemos tener atrayendo a como cargas, vemos que las ecuaciones de Maxwell modificadas no pueden modelar la gravedad.

La única salida es dejar de lado las suposiciones que van en el #1, #2 o #3, lo que haría que la teoría no fuera sensata. Por lo tanto, la teoría de ejemplo que propuso el OP no sería físicamente sensata (para ser más específicos, conduciría a un universo con soluciones inestables de fuga).