Encontrar la inversa multiplicativa de un elemento en $\mathbb Q[x]/(x^3-2)$

Question

Tengo un problema aquí que pregunta: "Expresar la inversa multiplicativa de $1+2^{1/3}-3\cdot2^{2/3}$ como $a_0+a_1\cdot2^{1/3}+a_2\cdot2^{2/3}$ ."

Creo que nos piden que lo encontremos utilizando el algoritmo euclidiano. Estoy bastante confundido acerca de cómo hacer esto. También estoy confundido sobre todo el concepto y cómo esto se relaciona con los campos...

Answer 1

Convénzase de que $\mathbb{Q}[x]/(x^3-2)$ es lo mismo que $\mathbb{Q}(\theta)$ donde $\theta =2^{\frac{1}{3}}$ ..

Ahora, el inverso de $1+2^{\frac{1}{3}}-32^{\frac{2}{3}}$ es igual a la inversa de $1+\theta -3 \theta ^2$ ...

y luego...

como $\mathbb{Q}(\theta)$ es un campo, inverso de $1+\theta -3 \theta ^2$ existe

y como $\mathbb{Q}(\theta)$ es de grado $3$ cada elemento se expresa como $a_0 +a_1\theta +a_2 \theta^2$ ..

En su idioma, cada elemento puede escribirse como $a_0+a_1 2^{\frac{1}{3}} +a_2 2^{\frac{2}{3}}$ .

En particular, la inversa de $1+2^{\frac{1}{3}} -3 2^{\frac{2}{3}}$ también puede escribirse como $a_0+a_1 2^{\frac{1}{3}} +a_2 2^{\frac{2}{3}}$ ..

¿Puede seguir adelante?

Ligera ampliación:

Como $x^3-2$ es irreducible, el d.c.g. de éste con cualquier otro polinomio será $1$

en particular, g.c.d de $x^3-2, 1+2x-3x^2$ es $1$

es decir, tengo dos polinomios $m_x$ y $n_x$ en $\mathbb{Q}[x]$ tal que :

$m_x.(x^3-2)+ n_x (1+2x-3x^2)=1$

Como se trata de una identidad, tendríamos $m_{\theta}.(\theta^3-2)+ n_{\theta} (1+2\theta-3\theta^2)=1$

Pero entonces, $\theta^3-2=0$

Por lo tanto, tendríamos $n_{\theta} (1+2\theta-3\theta^2)=1$

Así que.., $n_{\theta}$ será entonces la inversa de $(1+2\theta-3\theta^2)$ .

Ahora, ¿qué es $n_{\theta}$ ??