Dejemos que $D$ sea un dominio integral ordenado, y sea $a\in D$ . Demostrar que $a^2-a+1>0$

Question

Dejemos que $D$ sea un dominio integral ordenado, y sea $a\in D$ . Demostrar que $a^2-a+1>0$ .

Esto es bastante sencillo si tomamos $\Bbb{R}$ como el dominio integral ordenado en cuestión. Sin embargo, como no podemos hacerlo, ¿cómo debemos resolver este problema?

Answer 1

Se podría pasar al campo del cociente y anotar $a^2 - a + 1 = (a-1/2)^2 + 3/4$ que debe ser positivo. (Nótese que el carácter del dominio es $0$ como se ordena, por lo que $2$ y $4$ son distintos de cero y, por tanto, invertibles en el campo del cociente).

Si no quieres hacer esto puedes decir: $a^2 - a+ 1 > 0$ si y sólo si $4(a^2 - a+ 1) > 0$ . A continuación, haga lo mismo que en el caso anterior, pero permaneciendo en el dominio.