¿Se explicar de manera concreta qué isogeny es? Al parecer, algunas de las pruebas del último teorema de Fermat son esencialmente esto pero no me queda claro lo que realmente es. (Sería bueno ver ejemplos que no son Teorema de Fermat aunque)
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Un isogeny es un tipo especial de morfismos entre curvas elípticas.
Una curva elíptica es, ante todo, una curva; queremos ser capaces de mapa a partir de una curva a otra. Ya tenemos una buena idea de los mapas entre curvas, es decir, racional mapas.
Pero una curva elíptica es más que una curva: también cuenta con un distinguido punto (el punto en el infinito) y una estructura de grupo (el grupo de $K$-puntos racionales para cualquier campo $K$ está trabajando). Así que nos gustaría considerar mapas entre curvas elípticas que hacer más que simplemente conservar el hecho de que son curvas (la manera racional de los mapas), pero que también preservar este extra estructura de las curvas.
Un grupo de morfismos, por supuesto, asignar el elemento de identidad para el elemento de identidad y tomar la imagen de una suma de dinero que la suma de las imágenes. Para grupos, el primero es una consecuencia de este último. Para curvas elípticas, el último es una consecuencia de la anterior.
Así: un isogeny entre dos curvas elípticas $E_1$ $E_2$ es un racional de morfismos $\phi\colon E_1\to E_2$ que se asigna el punto en el infinito $O$ $E_1$ a el punto en el infinito $O$$E_2$.
Porque racional de los mapas entre curvas son constantes o surjective, un isogeny cualquiera de los mapas de todos los de $E_1$$O$, o es surjective en $E_2$, y en ese caso debe ser un número finito de mapa.
Añadido. Silverman se refiere al lector a Hartshorne o a Shafarevich para la prueba de que una racional mapa entre las curvas es constante o en. Hartshorne demuestra tarde en el juego (Capítulo II, Sección 6, después de que él ha esquemas y divisores en la mano). La proposición en cuestión dice:
La proposición (II.6.8 en Hartshorne) Deje $X$ ser un completo nonsingular curva más $k$, $Y$ cualquier curva sobre $k$, e $f\colon X\to Y$ una de morfismos. A continuación, cualquiera de $f(X)$ es un punto, o $f(X)=Y$. En el segundo caso, $K(X)$ es un fintie campo de la extensión de $K(Y)$, $f$ es una finito de morfismos, y $Y$ también está completo.
La prueba de la primera parte es que desde $X$ es completa (adecuada sobre $k$; equivalentemente, para curvas proyectivas) es la imagen debe ser cerrado en $Y$ y adecuada sobre $\mathrm{Spec} k$. Pero desde $f(X)$ también debe ser irreductible, se trata de un punto o de todos los de $Y$.
Shafarevich la prueba anterior (sin esquemas; en el Capítulo I, Sección 5.3, Teorema 4), pero en esencia Silverman es asumir que usted sabe que el mapa será finito: Shafarevich define un número finito de mapa de $f$ a ser un mapa de $f\colon X\to Y$ de manera tal que la inducida por la inclusión $k[Y]\to k[X]$ $k[X]$ integral $k[Y]$. Luego demuestra finito mapas son surjective: si $y\in Y$ $\mathfrak{m}_y$ es el ideal de la $k[Y]$ de las funciones que se desvanecen en $y$, e $t_1,\ldots,t_n$ son las de coordinar las funciones en $Y$, e $y=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$; a continuación,$\mathfrak{m}_Y = (t_1-\alpha_1,\ldots,t_n-\alpha_n)$. Visualización de $k[Y]$ como un sub-anillo de $k[X]$, $f^{-1}(y)=\emptyset$ si y sólo si el $t_i-\alpha_i$ generar el trivial ideal de $k[X]$; esto es equivalente a $\mathfrak{m}_yk[Y]=k[X]$, pero desde $k[X]$ integral $k[Y]$, por definición, es un finito $k[Y]$-módulo, y por Nakayama del Lema no podemos tener a $\mathfrak{m}_yk[Y]=k[X]$. Por lo tanto $f^{-1}(y)\neq\emptyset$, lo $f$ es sobre.
Un ejemplo de un isogeny es el mapa de una curva elíptica a sí mismo que se asigna un punto de $P$$nP$, para cualquier $n\in\mathbb{Z}$. Este es un isogeny, debido a la multiplicación de mapa puede ser expresada con las funciones racionales en las coordenadas del punto.
Véase, por ejemplo, el Capítulo 3, Sección 4, de La Aritmética de Curvas Elípticas por Silverman (titulado "Isogenies").
Isogeny viene de la iso y de género, "la igualdad de origen".
Añadido. Como Adrián Barquero acertadamente señala, esto se extiende a cualquier abelian variedad (que es una variedad equipado con una operación binaria que lo hace en un grupo, con la adición y a la inversa mapas funciones racionales; curvas elípticas son un caso especial de abelian variedades), de modo que isogeny es un racional mapa entre dos abelian variedades que es constante o ha finito del núcleo, y los mapas del punto en el infinito del dominio hasta el punto en el infinito del codominio. (Matt E confirma que el trivial mapa a veces es aceptado como un isogeny, aunque a veces no, así que cuidado...)
YequalsX
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Con respecto a la motivación para su pregunta, podría ser que usted ha estado leyendo declaraciones tales como "toda curva elíptica es isogenous a una curva elíptica contenida en el Jacobiano de una construcción modular de la curva", o declaraciones relacionadas con el teorema de Faltings/Tate conjetura: que dos curvas elípticas con el mismo $L$-función de isogenous.
En primer lugar: a través de los números complejos, una curva elíptica $E$ es de la forma $\mathbb C/\Lambda$, para una celosía $\Lambda$$\mathbb C$. Las curvas isogenous a $E$ son precisamente las de la forma $\mathbb C/\Lambda'$ donde $\Lambda'$ es otra red que está contenida en $\mathbb Q\otimes \Lambda$ ($\Lambda'$ es conmensurables con las $\Lambda$).
¿Por qué hace esto? Bien, en cierto sentido, isogenous curvas elípticas sobre $\mathbb Q$ tienen casi el mismo número teórico de propiedades. Por ejemplo, tienen buena reducción en el mismo conjunto de números primos $p$, y si $p$ es un alojamiento de buena reducción, el número de soluciones de mod $p$ de las dos curvas será el mismo. Esta es la razón por la que ellos tienen el mismo $L$-función.(El $L$-función se construye utilizando como datos de entrada el número de soluciones de la curva elíptica modulo primos $p$.)
Dado que la relación entre las curvas elípticas y las formas modulares (la uno que Wiles demostró) es mediada a través de su $L$-funciones, isogenous curvas elípticas provienen de la misma modular el formulario. Esta es la razón por la que el concepto de isogeny viene todo el tiempo en la discusión de FLT y Astucias de la prueba.
