Multiplicación de matrices: ¿Qué es? $\mathbf A^3$ y $\mathbf A^n$ ?

Question

Supongamos que existe una matriz A .

Sé que A 2 \= A $\cdot $ A

Pero, ¿y si es A 3 ?

Es A $\cdot $ A $\cdot$ A O A 2 $\cdot$ A O A $\cdot$ A 2 ?

Así que básicamente mi pregunta es qué es A n ?

Answer 1

$A^3 = A(AA)=AA^2=(AA)A=A^2A$ . Esto proviene de la asociatividad de las matrices. En el caso de $A^n =A \cdot A\cdot ...\cdot A$ , $n$ -tiempo

Answer 2

La multiplicación matricial es asociativa, así que es todo eso.

Answer 3

Tu duda es muy común en personas sin un curso de álgebra abstracta.

No importa si calculas $(A\cdot A)\cdot A$ o $A\cdot (A\cdot A)$ . Esto es cierto porque la asociatividad se mantiene para la multiplicación de matrices. Nótese que se puede escribir la multiplicación sin paréntesis sólo si se tiene $(A\cdot A)\cdot A=A\cdot (A\cdot A)$ .

Pongamos algunos ejemplos:

Los productos en los números reales son asociativos, por ejemplo $(20\cdot 4)\cdot 2 =20\cdot (4\cdot 2)$ porque $(20\cdot 4)\cdot 2=160$ y $20\cdot (4\cdot 2)=160$ . Entonces la multiplicación está bien definida en este ejemplo y se puede escribir $20\cdot 4\cdot 2=160$ .

Las divisiones no son asociativas, por ejemplo $(20\div 4)\div 2\neq 20\div(4\div2)$ porque $(20\div 4)\div 2=2,5$ y $20\div(4\div2)=10$ . Así que $20\div 4\div 2$ no está bien definida porque tendría dos resultados $10$ y $2,5$ .

Cualquier duda estaré encantado de ayudar.