Cambiar la integral doble en una integral simple en coordenadas polares

Question

Tengo esta integral: $$\iint_{G} f(\sqrt{x^2+y^2})dxdy,\,G=\{(x;y)\,|\,x^2+y^2\leq x;x^2+y^2\leq y\}$$ Como la descripción de la tarea sugiere, supongo que necesito hacer que la ecuación integral dependa de una sola variable (ya sea $\phi$ o $r$ ) después de convertirlo en polar y aplicar las restricciones. Pero no estoy seguro de cómo lidiar con las restricciones de desigualdad, he intentado sustituir $x=r\cos{\phi},y=r\sin{\phi}$ en las desigualdades y obtuvimos algunos límites en r: $$r\leq \cos{\phi},\,r\leq \sin{\phi}$$ Pero no estoy seguro de cómo proceder... Si tuviera algo como $r=\cos{\phi}$ Podría haber sustituido $r$ en el $x$ y $y$ ecuaciones y se deshizo de una variable, pero no parece ser el caso aquí. Además, la respuesta (del libro) contiene $asin$ y $acos$ (que sospecho que obtuvieron al expresar $\phi$ de las restricciones), pero la cuestión sigue siendo la misma. Realmente no necesito la solución a este problema exacto, sino más bien algunas ideas generales sobre las restricciones y el cambio de sistemas de coordenadas (por ejemplo, ¿puedo aplicar primero las restricciones y luego el cambio o cómo tratar las desigualdades).

Answer 1

En coordenadas polares, tienes, $$x^2+y^2\leqslant x\iff r\leqslant\cos\phi\quad\text{and}\quad x^2+y^2\leqslant y\iff r\leqslant\sin\phi.$$ Así que, claramente (asumiendo que $\phi\in[0,2\pi]$ ), $\phi\in\left[0,\frac\pi2\right]$ ; en caso contrario, uno de los números $\cos\phi$ o $\sin\phi$ es menor que $0$ . Por otro lado, si $\phi\in\left[0,\frac\pi2\right]$ entonces $r$ puede pasar de $0$ el más pequeño de los números $\cos\phi$ y $\sin\phi$ . Así, el mayor valor que $r$ puede tomar es $\frac{\sqrt2}2$ (eso es cuando $\phi=\frac\pi4$ ). Para cada $r\in\left[0,\frac{\sqrt2}2\right]$ , $\phi$ puede pasar de $\arcsin r$ à $\arccos r$ . Para ver por qué, vea que si $(x,y)$ es tal que $x^2+y^2=y$ y que $\sqrt{x^2+y^2}=r$ entonces $$r\sin\phi=y=x^2+y^2=r^2,$$ y por lo tanto $\sin\phi=r(\iff\phi=\arcsin r)$ un argumento similar muestra que el mayor valor que $\phi$ puede tomar es $\arccos r$ . Por lo tanto, tiene \begin{align}\iint_Gf\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy&=\int_0^{\sqrt 2/2}\int_{\arcsin r}^{\arccos r}f(r)r\,\mathrm d\phi\,\mathrm dr\\&=\int_0^{\sqrt2/2}f(r)r\bigl(\arccos(r)-\arcsin(r)\bigr)\,\mathrm dr.\end{align}