Encontrar todas las soluciones, excepto $2$ para $12x^3-23x^2-3x+2=0$

Question

Encontrar todas las soluciones, excepto $2$ para $12x^3-23x^2-3x+2=0$

Empecé sacando un $x$ y consiguió $$x(12x^2-23x-3)+2=0$$
No sé si este es el primer paso correcto, si lo es, entonces soy capaz de utilizar la fórmula cuadrática o completar el cuadrado para obtener las respuestas. ¿Puede alguien darme pistas generales? Por favor, no resolver esto para mí en cualquier caso. Sólo dame pistas.

Answer 1

HINT

Lo mejor de esto es que se note que $2$ es una solución. Por el teorema del factor sabemos que el factor lineal $(x - 2)$ divide nuestro polinomio.

Así que tal vez deberías dividir $(x-2)$ . Te quedará una cuadrática, que sabemos resolver muy rápidamente.

Answer 2

Las respuestas anteriores le han proporcionado suficiente información. Sin embargo, lo siguiente podría ayudarle en sus esfuerzos futuros:

¿Cómo se factoriza el polinomio si 2 no era ¿dado como raíz?

Existe un teorema útil: el Teorema de la raíz racional , eso ayuda a factorizar polinomios (indirectamente). Garantiza que cualquier raíz del polinomio tendrá un numerador que tiene $c$ la constante, como factor y un denominador que tiene $a_n$ , el coeficiente principal, como factor.

Por lo tanto, investigando todas las posibles combinaciones de los factores de la constante y los factores del coeficiente principal, se puede llegar a una raíz válida. El polinomio puede entonces convertirse en un cuadrático a través de la división sintética que puede ser factorizada (como sabes) a través de la fórmula cuadrática.

Lo interesante de este método es su gran ámbito de aplicación: no sólo funciona con polinomios cúbicos sino con un polinomio con cualquier grado.

Answer 3

Los recíprocos de las raíces $\rm\,r,s,1/2\:$ son raíces del polinomio invertido $\rm\:2\, x^3\! -\! 3\, x^2\! -\! 23\, x\! +\! 12.\: $ Así por las fórmulas de Vieta $\rm\:r\!+\!s\!+\!1/2 = 3/2,\ rs/2 = -6,\:$ así que $\rm\:r\!+\!s = 1,\ rs = -12,\:$ así que $\rm\:r,s = \ldots$

Alternativamente, por el Teorema del Factor, $\rm\:f(2) = 0\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:f(x)\:$ tiene $\rm\:x\!-\!2\:$ como factor. Comparando coef's

$$\rm (x-2)(a\, x^2 + b\, x + c)\ =\ 12\, x^3 - 23\,x^2 -3\,x + 2$$

$\rm\qquad x^3\:$ coef $\rm\:\Rightarrow\: a = 12$

$\rm\qquad x^0\:$ coef $\rm\:\Rightarrow\: -2\,c = 2\:\Rightarrow\: c = -1$

$\rm\qquad x^1\:$ coef $\rm\:\Rightarrow\: -3 = c-2b = -1-2b\:\Rightarrow\: b = 1 $

Así que el factor cuadrático es $\rm\: 12\,x^2 + x - 1,\:$ que puede resolverse mediante la fórmula cuadrática o la prueba de la raíz racional, o $\rm\:(c\,x\!-\!1)\,(d\,x\!+\!1) = 12\,x^2\!+\!x\!-\!1\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:cd=12,\ c\!-\!d = 1,\:$ así que $\rm\:c,d = \ldots$