Demostrar que $\mathbb{S}^n$ (con la topología del subespacio) es la compactación de un punto de $\mathbb{S}^n \setminus \{p\}$ donde $p \in \mathbb{S}^n$ .
Tenga en cuenta que ya he demostrado por mi cuenta que $\mathbb{S}^n \setminus \{p\}$ es localmente compacto.
Prueba: Considere $(\mathbb{S}^n, \kappa)$ donde $\kappa$ es la topología del subespacio en $\mathbb{S}^n$ . Consideremos ahora la compactación de un punto $\mathbb{S}^n \setminus \{p\} \cup \{p\} = \mathbb{S}^n$ equipado con la topología $\mathcal{T} = \{\text{open subsets of } \ \mathbb{S}^n \setminus \{p\}\} \cup \{ U \subseteq \mathbb{S}^n \ | \ \mathbb{S}^n \setminus U \text{ is a compact subset of } \mathbb{S}^n \setminus \{p\}\}$ . Afirmo que $(\mathbb{S}^n, \kappa)$ es homeomorfo a $(\mathbb{S}^n, \mathcal{T})$
Depuis $\{p\}$ está cerrado en $\mathbb{R}^{n+1}$ y $p \in \mathbb{S}^n$ y $\{p\} = \mathbb{S}^n \cap \{p\}$ se deduce que $\{p\}$ está cerrado en $\mathbb{S}^n$ . Así, $\mathbb{S}^n \setminus \{p\}$ está abierto en $\mathbb{S}^n$ . Así, los subconjuntos abiertos de $\mathbb{S}^n \setminus \{p\}$ están todos abiertos en $\mathbb{S}^n$ con la topología del subespacio.
Ahora afirmamos que $$\{\text{neighborhoods of $ p $ in $ (\mathbb{S}^n, \kappa) $}\} = \{ U \subseteq \mathbb{S}^n \ | \ \mathbb{S}^n \setminus U \text{ is a compact subset of } \mathbb{S}^n \setminus \{p\}\}$$
Dejemos que $U$ sea una vecindad de $p$ en $(\mathbb{S}^n, \kappa)$ entonces $\mathbb{S}^n \setminus U$ está cerrado en $(\mathbb{S}^n, \kappa)$ y como $(\mathbb{S}^n, \kappa)$ es compacto se deduce que $\mathbb{S}^n \setminus U$ es compacto y además $\mathbb{S}^n \setminus U \subseteq \mathbb{S}^n \setminus \{p\}$ Por lo tanto $\{\text{neighborhoods of $ p $ in $ (\mathbb{S}^n, \kappa) $}\} \subseteq \{ U \subseteq \mathbb{S}^n \ | \ \mathbb{S}^n \setminus U \text{ is a compact subset of } \mathbb{S}^n \setminus \{p\}\}$ .
A la inversa, dejemos que $V \subseteq \mathbb{S}^n$ sea tal que $\mathbb{S}^n \setminus B$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{S}^n \setminus \{p\}$ demostramos que $V$ es una vecindad de $p$ en $(\mathbb{S}^n, \kappa)$ . Desde $\mathbb{S}^n \setminus V$ es compacto y $\mathbb{S}^n \setminus V \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$ por el teorema de Heine-Borel tenemos que $\mathbb{S}^n \setminus V$ está cerrado en $\mathbb{R}^{n+1}$ y por lo tanto $\mathbb{S}^n \cap \left(\mathbb{S}^n \setminus V\right)= \mathbb{S}^n \setminus V$ está cerrado en $(\mathbb{S}^n, \kappa)$ . Además $\mathbb{S}^n \setminus V \subseteq \mathbb{S}^n \setminus\{p\} \implies p \in V$ . Si se combina todo esto, vemos que $V$ es una vecindad de $p$ en $(\mathbb{S}^n, \kappa)$ y así hemos demostrado que $\{\text{neighborhoods of $ p $ in $ (\mathbb{S}^n, \kappa) $}\} \supseteq \{ U \subseteq \mathbb{S}^n \ | \ \mathbb{S}^n \setminus U \text{ is a compact subset of } \mathbb{S}^n \setminus \{p\}\}$ y probado nuestra afirmación anterior.
Así, $$\mathcal{T} = \{\text{open in $ \N - Matthbb{S}^n $ not containing $ p $}\} \cup \{\text{open sets in $ \N - Matthbb{S}^n $ containing $ p $}\}$$
y está claro que $\mathcal{T} = \kappa$ . Así, $(\mathbb{S}^n, \kappa)$ es efectivamente homeomorfo (a través del mapa de identidad) a $(\mathbb{S}^n, \mathcal{T})$ y por lo tanto $\mathbb{S}^n$ (con la topología del subespacio) es la compactación de un punto de $\mathbb{S}^n \setminus \{p\}$ donde $p \in \mathbb{S}^n$ . $\square$
¿Es la prueba anterior correcta y satisfactoria? Sé que me he saltado algunos detalles, ya que incluirlos alargaría bastante la prueba.
Una prueba más sencilla (de la que sólo me di cuenta después de escribir la prueba anterior) sería utilizar el siguiente teorema:
Teorema: Si $X$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto y $Y$ es compacto Hausdorff tal que para algún punto $p \in Y$ , $X$ es homeomorfo a $Y\setminus \{p\}$ entonces $Y$ es homeomorfo a la compactificación de un punto de $X$ .
y entonces la prueba se vuelve mucho más simple, creo.
