Espero que alguno de ustedes pueda ayudarme con la siguiente pregunta: Consideremos el conjunto $U\subseteq L^1([0,1])$ de funciones integrables no negativas con masa unitaria, es decir $u\geq 0$ , $\int_0^1 u\,dx = 1$ para todos $u\in U$ . Además, defina para cualquier $K\in\mathbb{N}$ , $\delta:=\frac{1}{K}$ la descomposición de $[0,1]$ por los intervalos $I_k:=(k\delta,(k+1)\delta]$ , $k=0,\ldots, K-1$ .
Además, defina la constante local y el mapa de interpolación isométrica \begin{align*} P_{\delta}(u):\begin{cases} L^1([0,1]) \rightarrow L^1([0,1]) \\ u \mapsto \sum_{k=0}^{K-1} u_k \chi_{I_k}, \qquad with\qquad u_k:=\frac{1}{\delta}\int_{I_k} u\, dx \end{cases}\end{align*} donde $\chi_A$ para la función indicadora de cualquier subconjunto $A$ de $[0,1]$ .
Ahora, mi pregunta es la siguiente: ¿Es posible demostrar la convergencia uniforme en $U$ de $P_{\delta}$ hacia la identidad en $L^1$ es decir \begin{align*} \forall \varepsilon>0\,\exists\bar\delta: \|P_{\delta}(u)-u\|_{L^1([0,1])} <\varepsilon,\,\forall\delta\in(0,\bar\delta),\forall u\in U \quad ??? \end{align*} Supongo que se necesitan más restricciones en $U$ , tal vez $\|u\|_{L^{\infty}} \leq C$ para cualquier $C>0$ pero, para ser sincero, no tengo ni idea. Mi problema es que si buscas una prueba de $\|P_{\delta}(u)-u\|_{L^1([0,1])}\rightarrow 0$ para una sola $u\in L^1([0,1])$ siempre se utiliza la existencia de funciones escalonadas $\varphi_n$ que converge hacia $u$ en $L^1$ Así pues, no obtengo ninguna desigualdad como $\|P_{\delta}(u)-u\|_{L^1([0,1])}\leq C_u\delta$ con $u$ -constante dependiente $C_u$ que sería útil para encontrar una constante uniforme independientemente de $u$ .
Si alguien tiene ideas, estaré encantado de recibir cualquier consejo. Tal vez alguien conozca una referencia donde pueda encontrar una prueba de convergencia para un solo $u$ sin usar sólo la ligereza del conjunto de funciones de paso en $L^1$ ... ¡incluso esto sería muy útil!
¡Gracias!
