Interpolación local constante en $L^1$

Question

Espero que alguno de ustedes pueda ayudarme con la siguiente pregunta: Consideremos el conjunto $U\subseteq L^1([0,1])$ de funciones integrables no negativas con masa unitaria, es decir $u\geq 0$ , $\int_0^1 u\,dx = 1$ para todos $u\in U$ . Además, defina para cualquier $K\in\mathbb{N}$ , $\delta:=\frac{1}{K}$ la descomposición de $[0,1]$ por los intervalos $I_k:=(k\delta,(k+1)\delta]$ , $k=0,\ldots, K-1$ .

Además, defina la constante local y el mapa de interpolación isométrica $$\begin{align*} P_{\delta}(u):\begin{cases} L^1([0,1]) \rightarrow L^1([0,1]) \\ u \mapsto \sum_{k=0}^{K-1} u_k \chi_{I_k}, \qquad with\qquad u_k:=\frac{1}{\delta}\int_{I_k} u\, dx \end{cases}\end{align*}$$ donde $\chi_A$ para la función indicadora de cualquier subconjunto $A$ de $[0,1]$ .

Ahora, mi pregunta es la siguiente: ¿Es posible demostrar la convergencia uniforme en $U$ de $P_{\delta}$ hacia la identidad en $L^1$ es decir $$\begin{align*} \forall \varepsilon>0\,\exists\bar\delta: \|P_{\delta}(u)-u\|_{L^1([0,1])} <\varepsilon,\,\forall\delta\in(0,\bar\delta),\forall u\in U \quad ??? \end{align*}$$ Supongo que se necesitan más restricciones en $U$ , tal vez $\|u\|_{L^{\infty}} \leq C$ para cualquier $C>0$ pero, para ser sincero, no tengo ni idea. Mi problema es que si buscas una prueba de $\|P_{\delta}(u)-u\|_{L^1([0,1])}\rightarrow 0$ para una sola $u\in L^1([0,1])$ siempre se utiliza la existencia de funciones escalonadas $\varphi_n$ que converge hacia $u$ en $L^1$ Así pues, no obtengo ninguna desigualdad como $\|P_{\delta}(u)-u\|_{L^1([0,1])}\leq C_u\delta$ con $u$ -constante dependiente $C_u$ que sería útil para encontrar una constante uniforme independientemente de $u$ .

Si alguien tiene ideas, estaré encantado de recibir cualquier consejo. Tal vez alguien conozca una referencia donde pueda encontrar una prueba de convergencia para un solo $u$ sin usar sólo la ligereza del conjunto de funciones de paso en $L^1$ ... ¡incluso esto sería muy útil!

¡Gracias!

Answer 1

Convergencia uniforme en $L^1([0,1])$ es una forma de convergencia de elementos en el espacio, no de operadores acotados en él.

Sin embargo, si le interesa la norma del operador, entonces el $P_\delta$ no se acercan a la unidad, ya que para todo $K\in\mathbb{N}$ uno tiene $$u_K:=2K\chi_{[0,(2K)^{-1}]}\in L^1([0,1]),\quad \|u_K\|_1=1,$$ y $P_{K^{-1}}(u_K) = K\chi_{[0,K^{-1}]}$ para que $$\|(I-P_{K^{-1}})(u_K)\|_1= \|u_K-P_{K^{-1}}(u_K)\|_1 = 1,$$ que implica $\|I-P_{K^{-1}}\|_{op}\geq 1$ .

Editar: Otro ejemplo es $$v_K := 2\sum_{j=0}^{K-1}\chi_{[\frac{2j}{2K},\frac{2j+1}{2K}]},$$ para lo cual $P_{K^{-1}}(v_K)\equiv 1$ y $|v_K-P_{K^{-1}}(v_K)|\equiv 1$ .