Si $y=x\log\left(\frac{x}{a+bx}\right)$ entonces demuestre que $x^3\frac{d^2y}{dx^2}=\left(x\frac{dy}{dx}-y\right)$

Question

Si $y=x\log\left(\dfrac{x}{a+bx}\right)$ entonces demuestre que $x^3\dfrac{d^2y}{dx^2}=\left(x\dfrac{dy}{dx}-y\right)$ .

Mi intento:

Al diferenciar, obtengo

$$x\frac{dy}{dx}-y=\frac{a}{a+bx}$$

Al diferenciar de nuevo, obtuve

$$x^3\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-abx^2}{(a+bx)^2}$$

Claramente, no puedo igualar el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación. Por favor, ayuda.

Answer 1

Si $$y=x \log \left(\frac{x}{a+b x}\right)$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{a}{a+b x}+\log \left(\frac{x}{a+b x}\right)$$ $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{a^2}{x (a+b x)^2}$$ $$x^3\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{a^2 x^2}{ (a+b x)^2}$$ $$x\dfrac{dy}{dx}-y=\frac{a x}{a+b x}$$ Así que parece que hay un error tipográfico en alguna parte ya que encontramos que $$x^3\frac{d^2y}{dx^2}=\left(x\dfrac{dy}{dx}-y\right)^\color{red}{\Large2}$$