Utiliza los teoremas de los límites para demostrar $\sqrt{x}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ es continua en $[0, 1]$

Question

Utilizar los teoremas de límites para demostrar la continuidad en $[0,1]$

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}\sin(\frac{1}{x}), & \text{if $x \neq 0$} \\ 0, & \text{if $x=0$} \end{cases}$

El único punto problemático es $0$ claramente $\sin(\frac{1}{x})$ es discontinuo en $0$ . cuando $x=0, f(x)=0$

Estoy un poco confundido mis apuntes mostraban un problema similar pero ese problema era factorizable y enchufaba el valor máximo y obtenía el mismo valor en el intervalo si $f(x)=0$ .

Answer 1

No estoy muy seguro de lo que quieres decir con "factorabale", pero supongo que tu ejemplo era algo así como

$$ |\sin (1/x)|\leq 1 \quad \text{for all } x\neq 0 $$

Entonces para $x\neq 0$ $|\sqrt x\sin (1/x)|\leq \sqrt x$ y como $x\to 0$ tenemos $\sqrt x\to 0$ . Entonces por el teorema de la compresión se obtiene $\sqrt x\sin (1/x)\to 0$

Answer 2

Dejemos que $\epsilon >0$ y $0<x \le 1$ ;

$|√x\sin (1/x)|\le √x$ ;

Elija $ \delta = \epsilon^2$ .

Entonces

$0<x<\delta $ implica

$|√x\sin(1/x)| \le √x < √\delta =\epsilon$ es decir

$\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=f(0)$ .