¿Puede alguien aclarar el concepto de "suma de variables aleatorias"

Question

En mi clase de probabilidad se utilizan constantemente los términos "sumas de variables aleatorias". Sin embargo, estoy atascado en lo que significa exactamente?

¿Estamos hablando de la suma de un montón de realizaciones de una variable aleatoria? Si es así, ¿no se trata de la suma de un solo número? ¿Cómo una suma de realizaciones de una variable aleatoria nos lleva a una distribución, o a una cdf / pdf / función de cualquier tipo? Y si no se trata de realizaciones de variables aleatorias, ¿qué se suma exactamente?

Answer 1

Un modelo físico e intuitivo de una variable aleatoria es anotar el nombre de cada miembro de una población en uno o más trozos de papel - "boletos"- y poner esos boletos en una caja. El proceso de mezclar a fondo el contenido de la caja, seguido de sacar a ciegas un boleto -exactamente como en una lotería- modela la aleatoriedad. Las probabilidades no uniformes se modelan introduciendo un número variable de boletos en la caja: más boletos para los miembros más probables, menos para los menos probables.

A variable aleatoria es un número asociado a cada miembro de la población. (Por lo tanto, por coherencia, cada billete de un determinado miembro tiene que tener el mismo número escrito). Las variables aleatorias múltiples se modelan reservando espacios en los boletos para más de un número. Solemos dar a esos espacios nombres como $X,$ $Y,$ y $Z$ . El suma de esas variables aleatorias es la suma habitual: reservar un nuevo espacio en cada billete para la suma, leer los valores de $X,$ $Y,$ etc. en cada billete, y escribe su suma en ese nuevo espacio. Esta es una forma consistente de escribir los números en los billetes, por lo que es otra variable aleatoria.

Esta figura muestra una caja que representa una población $\Omega=\{\alpha,\beta,\gamma\}$ y tres variables aleatorias $X$ , $Y$ y $X+Y$ . Contiene seis billetes: los tres de $\alpha$ (azul) le dan una probabilidad de $3/6$ los dos para $\beta$ (amarillo) le dan una probabilidad de $2/6$ y el de $\gamma$ (verde) le dan una probabilidad de $1/6$ . Para mostrar lo que está escrito en los billetes, éstos se muestran antes de ser mezclados.

La belleza de este enfoque es que todas las partes paradójicas de la pregunta resultan ser correctas:

• la suma de las variables aleatorias es, efectivamente, un número único y definido (para cada miembro de la población),

• pero también conduce a una distribución (dada por las frecuencias con las que aparece la suma en la caja), y

• sigue siendo efectivamente un modelo de al azar proceso (porque los billetes se siguen extrayendo a ciegas de la caja).

De este modo, la suma puede tener simultáneamente un valor definido (dado por las reglas de adición aplicadas a los números de cada uno de los billetes) mientras que el realización --que será un billete extraído de la caja-- no tiene valor hasta que se lleve a cabo.

Este modelo físico de sacar billetes de una caja se adopta en la literatura teórica y se hace riguroso con las definiciones de espacio muestral (la población), álgebras sigma (con sus medidas de probabilidad asociadas) y variables aleatorias como funciones medibles definidas en el espacio muestral.

Esta explicación de las variables aleatorias se desarrolla, con ejemplos realistas, en "¿Qué se entiende por variable aleatoria?" .

Answer 2

Ninguna de estas respuestas ofrece una forma matemáticamente rigurosa de pensar en la suma de variables aleatorias. Tenga en cuenta que $X,Y$ no es necesario que se definan en el mismo dominio de resultados e incluso si lo hacen, $X+Y$ no puede entenderse como la suma de dos funciones. Más bien, deben extenderse primero al dominio $\Omega_1\times \Omega_2$ . Por ejemplo, dejemos que $X,Y$ sea una función idéntica de $\Omega=\{Head,Tail\}$ donde $X(Head)=Y(Head)=1, X(Tail)=Y(Tail)=0$ . Dominio de $(X+Y)$ debería ser {(Cabeza,Cola),(Cola,Cabeza),(Cabeza, Cabeza),(Cola,Cola)}. Ahora $X,Y$ son funciones sobre este espacio producto donde su valor está determinado únicamente por la 1ª y 2ª coordenada respectivamente. La suma puede entenderse ahora como suma de funciones en el sentido habitual. Obsérvese también que el $\sigma-$ campo y la medida de la probabilidad también deben definirse de nuevo. Diciendo $X,Y$ son independientes es una forma de especificar la medida del producto.

Answer 3

R.v. es una relación entre la ocurrencia de un evento y un número real. Digamos que si llueve el valor X es 1, si no llueve entonces 0. Puedes tener otro v.r. Y igual a 10 cuando hace frío, y 100 cuando hace calor. Así, si llueve y hace frío entonces X=1, Y=10, y X+Y=11.

Los valores de X+Y son 10 (no llueve, frío); 11 (llueve, frío), 100 (no llueve, calor) y 110 (llueve, calor). Si calculas las probabilidades de los eventos, obtendrás el PMF de esta nueva r.v. X+Y.

Answer 4

No hay ningún secreto detrás de esta frase, es tan simple como se puede pensar: si X e Y son dos variables aleatorias, su suma es X + Y y esta suma es una variable aleatoria también. Si X_1, X_2, X_3,...,X_n y son n variables aleatorias, su suma es X_1 + X_2 + X_3 +...+ X_n y esta suma es también una variable aleatoria (y una realización de esta suma es un único número, concretamente una suma de n realizaciones).

¿Por qué se habla tanto de sumas de variables aleatorias en la clase? Una de las razones es el (asombroso) teorema del límite central: si sumamos muchas variables aleatorias independientes, entonces podemos "predecir" la distribución de esta suma (casi) independientemente de la distribución de las variables individuales en la suma. La suma tiende a convertirse en una distribución normal y ésta es la razón probable por la que observamos la distribución normal tan a menudo en el mundo real.