Digamos que mezclamos homegéneamente y al instante agua fría a $t^\circ $ C y agua caliente a $T^\circ$ C (como en un grifo) en proporción $p:1$ . Mi pregunta es la siguiente: ¿Cuál es la temperatura instantánea de esta mezcla? ¿Existe una ley en ese sentido?
Soy matemático, no físico; todo lo que sé al respecto es la ley de enfriamiento de Newton. Sin embargo no veo cómo aplicarla aquí.
La solución a su problema puede encontrarse aplicando la ley de conservación de la masa y la energía (térmica).
Suponiendo que los dos volúmenes de agua a diferentes temperaturas se mezclan instantáneamente y no hay pérdida de calor hacia el entorno, aplicando la conservación de la energía se obtiene:
$$m_1 c_{p,1} T_1 + m_2 c_{p,2} T_2 = m_f c_{p,f} T_f$$
donde $m$ es la masa del volumen de agua, $c_p$ es la capacidad calorífica específica y $T$ la temperatura. Los índices deben entenderse como $f$ es el estado mixto final y $1,2$ son los respectivos estados iniciales de los volúmenes de agua.
Aplicando la conservación de la masa se obtiene: $$m_1 + m_2 = m_f$$
Sustituyendo en la ecuación de energía y reordenando para $T_f$ rendimientos: $$T_f = \frac{m_1 c_{p,1} T_1 + m_2 c_{p,2} T_2}{(m_1 + m_2)c_{p,f}}$$
Ahora bien, en general, las capacidades caloríficas específicas dependen de la temperatura, pero en el rango de temperaturas que generalmente salen del grifo podemos con seguridad Asumirlo como una constante que simplifica nuestra ecuación a:
$$T_f = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2}$$
Para su caso tenemos $m_1=p$ , $m_2=1$ , $m_f=p+1$ , $T_1=t$ y $T_2=T$ Así que..:
$$T_f = \frac{p t + T}{p + 1}=t+\frac{1}{p+1}(T-t)$$
que es exactamente la ecuación dada por Chester en la otra respuesta.
Como caso de validación, si $p=1$ es decir, una proporción de 1:1, entonces:
$$T_f = \frac{t+T}{2}$$
y la temperatura final es la media de la temperatura de los dos volúmenes de agua como se esperaba.
Lo bueno de enfocarlo así es que ahora se puede modificar la ecuación para tener en cuenta cualquier número de cuerpos a diferentes temperaturas.
Si se mezcla agua fría a temperatura $T_c$ y agua caliente a una temperatura $T_h$ en una proporción $x:1$ entonces la mezcla va a terminar en una temperatura:
$$ T_{mix} = T_c + \frac{1}{x+1}(T_h - T_c) $$
Si graficáramos la temperatura en función del tiempo obtendríamos algo así:
He representado la parte de la gráfica en la que los líquidos se mezclan mediante una nube porque durante este tiempo la mezcla no será homogénea. Habrá regiones de diferentes temperaturas que dependerán de las condiciones exactas de la mezcla. En estas circunstancias, la mezcla no homogénea no tiene una única temperatura, por lo que no hay una única cifra que podamos representar en nuestra gráfica.
Ahora lo que sugieres es que hagamos que la mezcla sea instantánea, es decir, que reduzcamos el tiempo de mezcla a cero, y en ese caso nuestra gráfica queda así:
Pero ahora tenemos una discontinuidad en la temperatura en el momento de la mezcla, y eso significa que en el momento de la mezcla la temperatura no está definida. Así que la respuesta a tu pregunta es que la temperatura no está definida en el momento de la mezcla.
La ley de enfriamiento de Newton describe cómo la temperatura de un sistema no perturbado cambia con el tiempo. No es aplicable en este contexto.
Las respuestas anteriores son correctas a presión normal, donde todo es lineal. En alta presión y temperatura la capacidad calorífica del agua depende en gran medida de la temperatura y el promedio simple ya no funciona. 
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