La idea de una carta de paquetes y un atlas de paquetes.

Question

En mi opinión, la definición de cartas y atlas de paquetes es bastante oscura. ¿Es justo decir que:

1) ¿el propósito de un gráfico de paquetes es dar coordenadas a cada espacio tangente?

2) el propósito de un atlas de haces es, al igual que un atlas sobre un colector, dar una correspondencia entre las coordenadas que cada carta en $(1)$ ¿induce?

Answer 1

Asumiré que estás hablando de paquetes vectoriales, para concretar. Sea $E \to M$ sea un rango $k$ haz vectorial sobre una variedad suave $M$ de dimensión $n$ . A continuación, un gráfico de paquetes para $E$ es un par $(U, \phi)$ , donde $U$ es un subconjunto abierto de $M$ y $\phi\colon \pi^{-1}[U] \to U \times \Bbb R^k$ donde para cada $x \in U$ La restricción $\phi|_{E_x} \colon E_x \to \{x\}\times \Bbb R^k$ es un isomorfismo lineal. Las operaciones en $\{x\} \times \Bbb R^k$ son inducidos desde el $\Bbb R^k$ factor. Un gráfico de paquetes toma efectivamente todas las fibras sobre puntos en $M$ y enderezarlos en forma de "producto" $U\times \Bbb R^k$ . La cuestión es que, globalmente, las fibras $E_x$ (para $x \in U$ ) en el interior $\pi^{-1}[U]$ pueden no ser del todo rectas (o "paralelas" entre sí, y aquí utilizo la palabra "paralela" en un sentido muy laxo).

Así que las trivializaciones locales toman fibras sobre un conjunto abierto y las "organizan". En general, no se puede hacer esto globalmente.

Otra forma de ver esto es: como el $E_x$ son espacios vectoriales, tienen bases. Pero ¿se puede elegir la "misma" base que funciona para todos los $E_x$ al menos para $x$ que se extiende sobre un pequeño subconjunto abierto de $M$ ? Sí, y eso es precisamente lo que hace el gráfico de paquetes, al definir $e^\phi_i(x) = \phi^{-1}(x,e_i)$ , donde $(e_i)$ es la base estándar de $\Bbb R^k$ . Podemos llamar $(e_i^\phi)$ el marco local para $E$ en $U$ asociado a $\phi$ .

Si quiere comparar esto con los gráficos de los colectores, tenga en cuenta que $E$ lleva naturalmente una estructura de colector, como sigue: si $(U,\varphi)$ es un gráfico múltiple para $M$ y $(U,\phi)$ es un gráfico de paquetes para $E$ (asumimos el mismo dominio $U$ para ambos, reduciéndolo si es necesario), definimos un gráfico de colectores para $E$ por la composición $$\pi^{-1}[U] \stackrel{\phi}{\longrightarrow} U\times \Bbb R^k \xrightarrow{\varphi\times {\rm Id}_{\Bbb R^k}} \varphi[U]\times \Bbb R^k \subseteq \Bbb R^{n+k}.$$

En cuanto a las trivializaciones y los marcos locales, ¿qué ocurre? Si $\psi \in E$ entonces $\psi = \psi_x \in E_x$ para algunos $x \in M$ . El gráfico de paquetes contempla la combinación lineal $\psi_x = \sum \psi^i e^\phi_i(x)$ y lo asigna al par $(x, (\psi^1,\ldots, \psi^k))$ donde la primera entrada $x$ es un punto de la base de la colector. El gráfico del colector, a su vez, escribe $\psi_x = \sum \psi^i e_i^{\phi}(x)$ y lo asigna al $(n+k)$ -uple $(\varphi^1(x),\ldots, \varphi^n(x), \psi^1,\ldots, \psi^k)$ , para ser visto como coordenadas de $\psi$ .

Dicho esto, podemos resumir la discusión intentando dar respuestas más o menos directas a sus preguntas:

1) "el propósito de un gráfico de haces es dar coordenadas a cada espacio tangente": por supuesto que aquí estamos generalizando los espacios tangentes a las fibras, pero esto es moralmente correcto si uno piensa en "coordenadas" como en "coordenadas de un vector con respecto a una base en un espacio vectorial", no como "coordenadas en un colector". Tratamiento de $E$ como colector, las coordenadas vienen dadas por la composición anterior.

2) "el propósito de un atlas de un haz es, al igual que un atlas en una variedad, dar una correspondencia entre las coordenadas que cada carta en (1) induce": de la misma manera que un atlas en una variedad es una colección de cartas que se superponen suavemente y cubren una variedad, se puede decir que un atlas de un haz vectorial es una colección de marcos locales para el haz para el que las matrices de transición (entre diferentes marcos en cada punto) dependen suavemente del punto base en $M$ . Por tanto, si por "coordenadas" te refieres a "coordenadas de un vector con respecto a una base en un espacio vectorial" como en (1), entonces sí, tu comprensión de un atlas de haces es correcta.