Dejemos que $T:V \to U$ sea una transformación lineal uno a uno y $S:U \to W$ una transformación lineal onto.

Question

Dejemos que $T:V \to U$ sea una transformación lineal de uno a uno y $S:U \to W$ una transformación lineal onto. Es $SoT:V \to W$ ¿Isomorfo?

¿Es siempre cierta esta condición o hay algún buen contraejemplo que demuestre lo contrario?

Answer 1

En general, no hay ninguna razón para que $S\circ T$ debe ser inyectiva o sobreyectiva.

De hecho, no es muy difícil encontrar un ejemplo en el que $T$ es inyectiva, $S$ es suryente, y $S\circ T$ es el mapa cero: dejemos que $T$ sea el mapa de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^2$ definido por $x\mapsto (x,0)^T$ y $S$ el mapa $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definido por $(x,y)^T\mapsto y$ .