Cálculo de $\lim_{x\to0^+}x-\frac{1}{x^3}$

Question

$$\lim_{x\to0^+}x-\frac{1}{x^3}$$

La respuesta es $-\infty$ .

No me queda muy claro cómo se llegó a esa conclusión. No se puede conectar el $0$ porque tendrías $\frac{1}{0}$ que es indeterminado. Pero de nuevo, no veo mucho espacio para el truco algebraico para cambiar la forma del límite.

¿Cómo puedo proceder aquí?

Answer 1

Dejemos que $M < 0$ ; si $x > 0$ tal que $x < \frac{1}{2}$ y $< \big( \frac{1 - 2^{-4}}{|M|} \big)^{1/3}$ entonces $$ x - \frac{1}{x^{3}} < \frac{1}{2} - \frac{1}{x^{3}} = \frac{x^{3} - 2}{2x^{3}} < \frac{2^{-3}-2}{2x^{3}} = \frac{2^{-4} -1}{x^{3}} < M. $$

Answer 2

Sustituir $y=\frac1x$ . Así que como $x\to0^+, y\to\infty$ . Así, nuestro límite se convierte en $$\lim\limits_{y\to\infty}\frac1y-y^3=0-\infty=-\infty$$
Sabemos que $\lim\limits_{x\to0}=\frac1x=[\text{Undefined}]$ pero si calculamos el RHL, obtendremos $\infty$ . (LHL es $-\infty$ )
Y $(\infty)^3=\infty$