Una pregunta sobre la probabilidad condicional

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria discreta. Tiene alguna distribución sobre los números enteros $0,1,...,m$

Entonces es $P(X>k | X=m) \ge P(X>k)$ ¿es cierto? Si lo es, ¿cómo demostrarlo de forma rigurosa?

Para mí, es tentador pensar que es cierto porque dado $X$ tomando el valor máximo, la probabilidad de $X>k$ debería ser mayor. Pero no puedo averiguar cómo probar mi pensamiento.

Answer 1

Si $m$ es el valor máximo posible de $X$ entonces la probabilidad condicional en su problema sólo puede tomar los valores cero y uno

$$ P(X > k \mid X = m) = 1 \text{ if } k < m $$ $$ P(X > k \mid X = m) = 0 \text{ if } k \geq m $$

En el primer caso, la desigualdad es obviamente cierta porque todas las probabilidades están limitadas por encima de uno. En el segundo caso

$$ P(X \geq k) = 0 $$

desde $k \geq m$ y $m$ es el valor máximo posible de $X$ .

Answer 2

Para cualquier $k < m$ le site $P(X>k| X=m)=1$ que es ciertamente mayor que $P(X>k)$ (suponiendo que cada número entero de 0 a m tiene una probabilidad positiva). Si $k=m$ $P(X>k)=0$ y también lo hace $P(X>k|X=m)$ .