Varianza de muestra de lanzar un dado 100 veces

Question

El libro de texto da un ejemplo de comprobación de una hipótesis nula de que al lanzar un dado 100 veces se obtiene un valor de $6$ , $\frac{1}{6}$ tiempos. En el experimento, se lanzó un dado 100 veces y 30 de ellas fueron $6$ 's.

El libro obtiene un $z$ puntúa para ello con la fórmula $$\frac{\bar{x}- \mu}{ \sqrt{ \frac{p(1-p)}{100}}} = \frac{.30- .167}{ \sqrt{ \frac{.167(1-.167)}{100}}} $$ .

Entiendo que $\sqrt{ \frac{0.167(1-0.167)}{100}}$ debe ser la desviación estándar de la media de la muestra (díganme si me equivoco), pero ¿cómo obtuvieron $0.167(1-0.167)$ como la varianza?

¿De dónde salió esa fórmula?

Answer 1

Lanza un dado justo una vez, y deja $X=1$ si el resultado es un $6$ y que $X=0$ de lo contrario. Entonces $E(X)=\frac{1}{6}$ y $E(X^2)=\frac{1}{6}$ y por lo tanto $$\text{Var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{1}{6}-\frac{1}{6^2}=\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{6}\right).$$

En general, repitamos un experimento de forma independiente $n$ veces, y supongamos que la probabilidad de éxito en cualquier ensayo es $p$ . Sea $Y$ sea el número de aciertos. Entonces $Y$ tiene una distribución binomial. Probablemente haya visto el hecho de que $Y$ tiene una varianza $npq=np(1-p)$ . Esto puede ser probado de varias maneras. Por ejemplo, dejemos que $X_i=1$ si obtenemos un éxito en el $i$ -a juicio, y $0$ de lo contrario. Tenga en cuenta que $Y=X_1+X_2+\cdots+X_n$ . Por un argumento prácticamente idéntico al del primer párrafo, cada $X_i$ tiene una varianza $p(1-p)$ .

Pero la varianza de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de las varianzas, por lo que $Y$ tiene una varianza $np(1-p)$ .

Dejemos que $\overline{Y}$ sea la media de la muestra. Entonces $\overline{Y}=\dfrac{Y}{n}$ . De ello se desprende que $$\text{Var}(\overline{Y})=\frac{1}{n^2}\text{Var}(Y)=\frac{np(1-p)}{n^2}=\frac{p(1-p)}{n}.$$