Integración por fracciones parciales

Question

He intentado integrar la función $$\frac{2x^3 + 5x^2 + 8x + 4}{(x^2 + 2x + 2)^2}$$ utilizando varias técnicas, pero ninguna de ellas lo resuelve bien. He intentado resolverlo por fracciones parciales: $$\frac{A + Bx}{x^2 + 2x + 2} + \frac{C + Dx}{(x^2 + 2x + 2)^2},$$ pero obtengo coeficientes erróneos.

Answer 1

Comencemos con $$\frac{2x^3 + 5x^2 + 8x + 4}{(x^2 + 2x + 2)^2}=\frac{A + Bx}{x^2 + 2x + 2} + \frac{C + Dx}{(x^2 + 2x + 2)^2}$$ Elimina el denominador, amplía y agrupa los términos. Deberías llegar a $$2x^3 + 5x^2 + 8x + 4=B x^3+ (A+2 B)x^2+(2 A+2 B+D)x+(2 A+C)$$ que da las cuatro ecuaciones $B=2$ , $A+2B=5$ así que $A=1$ , $2A+2B+D=8$ así que $D=2$ , $2A+C=4$ así que $C=2$ .

Así que tenemos $$\frac{2x^3 + 5x^2 + 8x + 4}{(x^2 + 2x + 2)^2}=\frac{1 + 2x}{x^2 + 2x + 2} + \frac{2 + 2x}{(x^2 + 2x + 2)^2}=\frac{2x+2-1}{x^2 + 2x + 2} + \frac{2x + 2}{(x^2 + 2x + 2)^2}$$ Por lo tanto, el establecimiento de $u=x^2+2x+2$ se puede notar que $2x+2$ es sólo $u'$ que hacen las cosas muy simples para dos partes y lo que queda básicamente es $$\int \frac{dx}{x^2+2x+2}=\int \frac{dx}{(x+1)^2+1}$$

Estoy seguro de que puede tomar de aquí.

Answer 2

También se puede obtener la forma de fracción parcial separando el numerador en múltiplos de $x^2+2x+2$ :

$$2x^3+5x^2+8x+4 = 2x(x^2+2x+2)+x^2+4x+4$$ $$=2x(x^2+2x+2)+(x^2+2x+2) + 2x+2$$ $$=(2x+1)(x^2+2x+2) + 2x+2$$

Una vez que cancele el $x^2+2x+2$ de la primera parte te quedas con la forma de fracción parcial, y a partir de ahí integras como arriba.