Demuestra que $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty.$

Question

La función $f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ es dos veces diferenciable en su dominio y satisface lo siguiente:

i) $f(2)=-1,$

ii) $f'(2)>0,$

iii) $f''(x)\geq 0, \ \text{in} \ [2,\infty).$

Demuestra eso:

a) $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty.$

b) $f$ tiene como máximo una raíz en $(2,\infty).$

c) $f$ tiene al menos una raíz en $(2,\infty).$

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Intento:

a) Sabemos que $f''\geq 0 $ en $[0,\infty)\Longrightarrow f'$ es estrictamente creciente en $(2,\infty)$ y que $f$ es convexo en el mismo intervalo.

Esto implica que $f(x)\rightarrow\infty$ como $x\rightarrow\infty$ y a).

b)+c)

Dado que lo anterior es válido y que $f(2)=-1<0,$ sabemos que existe un $c\in\mathbb{R}$ tal que $f(c)>0.$ Por lo tanto, según el teorema del valor intermedio existe al menos una $\xi\in(2,c)$ tal que $f(\xi)=0$

¿Esta "prueba" (para mí es una prueba hasta que se me refute) es correcta o estoy realmente fuera de la pista aquí?

Answer 1

1) $f''(x) \ge 0 , x \in [2,\infty)$ implica

$f'(x) $ no es decreciente.

Desde $f'(2) >0$ , $f'(x) \ge f'(2) >0$ ,

$x \in [2,\infty).$

MVT:

$f(x)-f(2) = (x-2)f'(t)\ge$

$(x-2)f'(2)$ , $2<t<x.$

$\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) \ge$

$\lim_{ x\rightarrow \infty} [f(2) + (x-2)f'(2)] = \infty.$

b)c).

b) $f(2) = -1$ .

Desde $ \lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=\infty$ ,

y $f$ continuos,

hay un $s$ con $f(s) =0$ , $s \in [2,\infty)$ (IVT).

c) Ya que $f'(x) >0$ ,

$f(x)$ es estrictamente creciente, hay a lo sumo un $0$ .

Answer 2

Usted escribió

a) Sabemos que $f''\geq 0 $ en $[0,\infty)\Longrightarrow f'$ es estrictamente creciente en $(2,\infty)$ y que $f$ es convexo en la misma intervalo.

Esto es falso. Por ejemplo, si $f'(x) = 1$ para todos $x \in (2, \infty)$ entonces $f''(x) = 0 \ge 0$ para todos $x$ ...pero $f'$ es no estrictamente creciente. Hay una diferencia real entre "menos que" y "menos o igual que".

Sin duda, estás en el buen camino; sólo tienes que tener más cuidado.