Características de la matriz PSD

Question

Una pregunta muy estúpida que resolvería muchos problemas en mi vida: ¿El producto de un vector de valores positivos con una matriz semidefinida positiva es siempre un vector positivo? Tengo que analizar cuando se cumple x'C>0, donde x es un vector con entradas positivas, y C es la matriz PSD. O en otras palabras, ¿puedo dividir toda la desigualdad por la matriz PSD de forma que la desigualdad no cambie de signo?

Answer 1

No. Ni siquiera con positivo-definido. $$ \begin{bmatrix} 2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\,\begin{bmatrix} 1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\5\end{bmatrix}. $$