¿Convexidad de ciertos polinomios objetivos?

Question

Sabemos que $\sum_{i=1}^n a_ix_i^2$ es un polinomio convexo si $a_i\in\mathbb Z_{\geq0}$ se mantiene.

1. Es $\sum_{i=1}^n a_ix_i^{2d}$ también es convexo en cada $d\in\{1,2,\dots\}$ si $a_i\in\mathbb Z_{\geq0}$ ¿tiene?

2. Es $\sum_{i=1}^n a_ix_i^{2d+1}$ también es convexo en cada $d\in\{1,2,\dots\}$ si $a_i\in\mathbb Z_{\geq0}$ ¿tiene?

Cuál es la forma más fácil de ver esto.

$\underline{Motivation}:$ Quiero maximizar los polinomios $$\sum_{i=1}^n x_i^{2d}+M\sum_{j=1}^ma_jy_j$$ y $$\sum_{i=1}^n x_i^{2d}+M\sum_{j=1}^ma_jy_j^2$$ sobre un politopo convexo donde $M>0$ y $a_j\in\mathbb Z_{\geq0}$ son fijos y quiero saber si estos son convexos ya que entonces el problema está en $P$ .

Answer 1

1. Esto es cierto si se observa la matriz hessiana (que es diagonal y tiene coeficientes no negativos). Este es una referencia para la detección de la convexidad mediante el hessiano, este es una referencia para comprobar la semidefinición positiva de su hessiano, y este es una referencia para calcular los valores propios de una matriz diagonal.
2. Evidentemente, esto no siempre es cierto porque con $n = 1$ , $d = 1$ y $a_1 = 1$ , $x^3_1$ no es convexo.

Puede que le interese más en general sos-convexidad