No sé mucho sobre la deformación de las variedades complejas compactas, sólo he leído el capítulo 6 del libro de Huybrechts Geometría compleja: Una introducción . Este capítulo consta de dos partes. La segunda pasa por el enfoque estándar, es decir, considerar una familia de variedades complejas compactas como una inmersión holomorfa propia entre dos variedades complejas conectadas. Mi pregunta se refiere al enfoque adoptado en la primera sección, que esbozaré brevemente.
En cambio, se puede considerar una deformación del complejo estructuras sobre una variedad lisa fija, a diferencia de las deformaciones de las variedades complejas - según el resultado de Ehresmann, una deformación sobre una base conectada no es más que una deformación de la estructura compleja sobre una variedad lisa fija. Este punto de vista es difícil de trabajar porque una estructura compleja es un objeto complicado, así que en su lugar consideramos estructuras casi complejas -por el Teorema de Newlander-Niremberg, las estructuras complejas corresponden a integrable estructuras casi complejas.
Fijar una variedad lisa de dimensiones pares $M$ . Ahora Huybrechts considera una familia continua de estructuras casi complejas $I(t)$ . No dice dónde $t$ viene, pero he interpretado que es un barrio abierto de $0$ en $\mathbb{C}$ . Ahora, dejemos que $I(0) = I$ . El haz tangente acomplejado a $M$ se divide con respecto a $I$ . Es decir, $TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C} = T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M$ . Pero esto es cierto para cada estructura casi compleja $I(t)$ . Denotemos las descomposiciones correspondientes por $TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C} = T^{1,0}M_t\oplus T^{0,1}M_t$ - se trata de una notación deliberadamente sugestiva; podemos considerar la variedad compleja compacta (próximamente) $(M, I(t))$ como la fibra de una familia compleja sobre un punto $t$ en la base.
Para los pequeños $t$ podemos codificar la información dada mediante un mapa $\phi(t) : T^{0,1}M \to T^{1,0}M$ donde, para $v \in T^{0,1}M$ , $v + \phi(t)v \in T^{0,1}M_t$ . Huybrechts dice entonces:
Explícitamente, se tiene $\phi(t) = -\text{pr}_{T^{1,0}M_t}\circ j$ , donde $j : T^{0,1}M \subset TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ y $\text{pr}_{T^{1,0}M_t} : TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C} \to T^{1,0}M_t$ son la inclusión natural respectivamente la proyección.
Según esto, el codominio de $\phi(t)$ es $T^{1,0}M_t$ no $T^{1,0}M$ . ¿Es una errata o me he perdido algo? Añadido más tarde: Como señala Peter Dalakov en su respuesta, se trata de una errata.
De todos modos, Huybrechts continúa con este enfoque. Hacer cumplir la condición de integrabilidad $[T^{0,1}M_t, T^{0,1}M_t] \subset T^{0,1}M_t$ garantiza que cada estructura casi compleja es inducida por una estructura compleja. Bajo el supuesto de que $I$ es integrable, $[T^{0,1}M_t, T^{0,1}M_t] \subset T^{0,1}M_t$ es equivalente a la ecuación de Maurer-Cartan $\bar{\partial}\phi(t) + [\phi(t), \phi(t)] = 0$ , donde $\bar{\partial}$ es el operador natural sobre el haz vectorial holomorfo $T^{1,0}M$ y $[\bullet, \bullet]$ es una extensión del soporte de Lie.
Me gusta este enfoque porque si tomas una serie de potencia $\sum_{t=0}^{\infty}\phi_it^i$ de $\phi(t)$ se puede deducir:
- $\phi_1$ define la clase Kodaira-Spencer de la deformación;
- todos los obstáculos para encontrar los coeficientes $\phi_i$ mienten en $H^2(M, T^{1,0}M)$ .
¿Alguien sabe de algún otro lugar donde pueda aprender sobre este enfoque, o hay alguna razón por la que este enfoque no es tan común?
Sólo para que conste, he mirado el informe de Kodaira Múltiples complejos y deformación de estructuras complejas pero no he podido encontrar nada que se parezca a lo anterior.
