Un grupo es un conjunto con una operación asociada que satisface una determinada lista corta de propiedades. Con este tipo de problemas introductorios, puede ser una buena idea verificar explícitamente los axiomas de un grupo para reforzar tu comprensión de lo que son los grupos.
Arreglar $n$ y mira el sistema de residuos reducido de los enteros mod $n$ . Para concretar, utilizaremos la notación $[0]$ para denotar la clase de residuo correspondiente al residuo $0$ y de forma similar para $[j]$ . Así, por ejemplo, los enteros regulares $1, n+1, 2n+1$ y así sucesivamente son todos los representantes de la clase de residuos $[1]$ .
Un grupo debe tener una operación binaria asociativa. La afirmación aquí es que la aritmética de enteros módulo $n$ da una operación binaria asociativa.
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Si $[a]$ y $[b]$ son dos clases de residuos, entonces $[a]+[b] = [a+b \bmod n]$ es otra clase de residuo. En efecto, si $a + jn$ es un representante de $[a]$ y $b + kn$ es un representante de $[b]$ entonces $a + b + n(j+k)$ es un representante de $[a + b \bmod n]$ . Por lo tanto, la adición módulo $n$ está bien definida en las clases de residuos.
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Del mismo modo, se puede demostrar que la suma es asociativa, ya que la adicional normal sobre los enteros es asociativa.
Un grupo debe tener un elemento de identidad. En este caso, debes demostrar que el elemento de identidad es la clase de residuo $[0]$ .
Cada elemento $[k]$ en nuestro grupo necesita tener un inverso aditivo $[\overline{k}]$ satisfaciendo $[k] + [\overline{k}] = [0]$ . En este caso, debe demostrar que la inversa de $[k]$ es $[-k] = [n-k]$ .
Una vez que haya mostrado estas propiedades, habrá demostrado que un sistema completo de residuos mod $n$ con la adición mod $n$ es un grupo.
