¿Acción de Polyakov cadena moviéndose en el espacio-tiempo y la matanza vector $K_\mu$ en espacio-tiempo obedeciendo a matar ' ecuación s nos lleva a la simetría de la acción de Polyakov?

Question

Sé que el Polyakov acción en el espacio plano tiene simetrías corresponden a las transformaciones de Lorentz de la coordenadas $X^\mu$ así como traducciones, que tiene el grupo de Poincaré de espacio-tiempo como simetrías. Estas simetrías corresponden a los vectores de la matanza del espacio-tiempo de Minkowski. ¿Considere ahora la acción de Polyakov para una cadena en movimiento en un espacio-tiempo con métrica $G_{\mu \nu}(X)$:$$S_P = -{1\over{4\pi \alpha'}} \int d^2 \sigma \sqrt{-\gamma} \gamma^{ab} \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu G_{\mu\nu}(X) \tag{1}$$ and assume there is a Killing vector $K_\mu$ en espacio-tiempo obedeciendo ecuación $$\nabla_\mu K_\nu + \nabla_\nu K_\mu = 0.\tag{2}$ $ de matanza hace este cable a una simetría de la acción de Polyakov?

Answer 1

La respuesta es sí. Sugerencias:

1. Realice una variación infinitesimal $$ \delta X^{\mu}~=~\varepsilon K^{\mu}(X) \tag{A} $ $ de la acción de Polyakov, donde $\varepsilon$ es un parámetro infinitesimal. Entonces $$ \partial_a \delta X^{\lambda} ~=~ \varepsilon\partial_a X^{\mu}~\partial_{\mu}K^{\lambda}, \qquad \delta G_{\mu\nu}~=~\varepsilon K^{\lambda}~\partial_{\lambda}G_{\mu\nu}.\tag{B}$ $

2. Es más fácil usar la definición de un campo vectorial de Killing $$0~=~({\cal L}_K G)_{\mu\nu}~=~ K^{\lambda}~\partial_{\lambda}G_{\mu\nu} + \partial_{\mu}K^{\lambda}~G_{\lambda\nu}+G_{\mu\lambda}~\partial_{\nu}K^{\lambda} \tag{C} $ $ en lugar de la ecuación equivalente (2).