Demuestre que para una función integrable positiva $f$ hay una función simple $\eta$ tal que $0 \leq \eta \leq f$ y $\int |f-\eta|<\epsilon$

Question

Este es un problema de Royden & Fitzpatrick que me ha dado problemas durante un par de días. Siento que estoy cerca de una solución pero hay algunos puntos que me hacen dudar. Para los que tengan el libro, el problema es el número 21 del capítulo 4. Dice así:

1. Dejemos que $f \geq 0$ sea una función integrable sobre el conjunto medible $E$ . Sea $\epsilon>0$ . Demuestre que existe una función simple $\eta$ en $E$ que tiene un soporte finito, $0 \leq \eta \leq f$ en $E$ y $\int_E |f - \eta| <\epsilon$ .

2. Si $E$ es cerrado y acotado, demuestre que existe una función escalonada $h$ en $E$ con soporte finito y $\int_E |f - h| <\epsilon$ .

Intento de solución:

$\int_E f = \sup \{\int_E g : \text{$ g $ is bounded, with finite support, $ g \geq 0 $ on E}\}$ . Esto implica que

$\exists g$ para lo cual $$\int_E g > \int_Ef - \frac{\epsilon}{2}.$$ $$\Rightarrow \int_E (f-g) = \int_E |(f-g)| <\frac{\epsilon}{2}$$

Desde $g \leq f$ en $E$ . Por el teorema de aproximación simple, podemos aproximar $g$ por una secuencia creciente de funciones simples $\{\phi_n\}$ tal que $\phi_n = 0$ siempre que $g =0.$ En particular, esto significa que $\phi$ también tiene un apoyo finito.

Ahora, aquí es donde tengo problemas. ¿Cuál es la garantía de que $\phi_n$ es eventualmente $\geq 0$ en $E$ ? Entiendo que esta secuencia de funciones simples tiene que converger puntualmente a $g\geq 0$ en $E$ pero esto no garantiza que para algunos $n$ la función $\phi_n$ es uniformemente positivo en todo el dominio $E$ .

Sin embargo, supongamos que es cierto que puedo encontrar tal secuencia de funciones simples: entonces como $g$ está acotada, por el teorema de convergencia acotada

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\int_E \phi_n = \int_E g.$$

Esto significa que para $N$ lo suficientemente grande, $\int_E \phi_N + \frac{\epsilon}{2}> \int_E g$ . Sea $\eta = \phi_N$ . En particular, como antes $\int_E |(g-\eta)| <\frac{\epsilon}{2}$

Finalmente, obtenemos la estimación

$\int_E |f - \eta| \leq \int_E (|f-g|+|g-\eta|) = \int_E |f-g| + \int_E |g-\eta|< 2\frac{\epsilon}{2} = \epsilon$ .

Mis preocupaciones son:

1. Lo que ya mencioné sobre que la secuencia de funciones simples es positiva

2. No veo donde la integrabilidad de la función $f$ entra aquí. Según la definición, significa que $f$ sólo tiene una integral de Lebesgue finita. Sé que todo lo que acabo de escribir debe ser basura si no uso todas las hipótesis de la pregunta.

3. No tengo la menor idea de cómo proceder con la segunda parte de la pregunta.

Cualquier ayuda que podáis aportar será muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

Para la pregunta 2

El Lebesgue integrabilidad de los no negativos, medibles $f$ significa $\int_Ef < +\infty$ .

Es entonces cierto por la definición de la integral que existe una función acotada y medible $g$ de soporte finito tal que $0 \leqslant g \leqslant f$ y

$$\tag{1}\int_E |f-g| < \frac{\epsilon}{2}$$

Para la pregunta 1

Dejemos que $E_0 = \text{supp }(g)$ . Sólo queda producir una función simple $\eta$ con soporte finito en $E_0$ tal que $0 \leqslant \eta \leqslant g$ y

$$\tag{2}\int_{E} |g-\eta| = \int_{E_0} |g-\eta| < \frac{\epsilon}{2}$$

El Teorema de Aproximación Simple (junto con el Teorema de Convergencia Dominada) te da todo lo que necesitas para demostrar (2). Dado que $g$ es no negativo con soporte finito, existe una secuencia creciente de funciones simples $\{\phi_n\}$ con soporte finito tal que $0 \leqslant \phi_n \leqslant g$ y $\phi_n \to g$ en el sentido de la palabra. Vuelve a leer el enunciado incluyendo los casos especiales y la demostración de este teorema en Royden.

Desde $g$ es integrable, por el Teorema de Convergencia Dominada tenemos

$$\lim_{n \to \infty} \int_{E_0} \phi_n = \int_{E_0} g$$

Dado $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que

$$\int_{E_0} |g - \phi_N| = \int_{E_0} (g - \phi_N)= \int_{E_0}g - \int_{E_0}\phi_N < \frac{\epsilon}{2}$$

Tomando $\eta = \phi_N$ demuestra (2).

Para la pregunta 3

Sería mejor publicar esto como otra pregunta, pero aquí hay un boceto.

Como este problema se plantea en el capítulo 4, podemos suponer que $E \subset \mathbb{R}$ .

Basta con demostrar que para una función característica $\chi_A$ en un conjunto medible $A \subset E$ existe una función escalonada $\phi$ tal que $\int_E| \chi_A - \phi| < \epsilon$ . Para cualquier $\delta > 0$ existe un conjunto abierto $O$ que contiene $A$ con $m(O \setminus A) < \delta$ . Como conjunto abierto $O$ es una unión contable de intervalos abiertos disjuntos

$$O = \bigcup_{j=1}^\infty(a_j,b_j),$$

tenemos

$$m(O) = \sum_{j=1}^\infty(b_j-a_j) < m(A) + \delta$$

Construir $\phi$ como la función característica de una unión finita de un número suficientemente grande de los intervalos $(a_1,b_1), \ldots ,(a_m,b_m)$ . Se trata de una función escalonada con las propiedades deseadas.