¿Es un subconjunto aleatorio de los números reales no medible? ¿Es medible el conjunto de conjuntos medibles?

Question

Se podría decir que "un subconjunto aleatorio de $\mathbb{R}$ no es medible por Lebesgue" sin pensarlo realmente. Pero si desempacamos las definiciones estándar de todos esos términos (y trabajamos en ZFC), no está tan claro.

Dejemos que $\Sigma \subset 2^\mathbb{R}$ sea la sigma-álgebra de todos los conjuntos medibles de Lebesgue. Demostrar $2^\mathbb{R}$ la medida del producto. (Es un producto de continuos muchos ejemplares del conjunto de dos puntos.) Queremos decir que $\Sigma$ es un conjunto nulo en $2^\mathbb{R}$ ...pero es $\Sigma$ ¿Incluso se puede medir?

Laci Babai planteó esta cuestión de forma casual hace varios años, y ninguno de los presentes supo cómo hacerlo, pero podría ser fácil para un teórico del juego.

Además, una pregunta relacionada: Piensa en $2^\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre el campo con dos elementos y $\Sigma$ como un subespacio. (La adición es xor, es decir, la diferencia de conjuntos simétricos.) ¿Qué es $\dim\left(2^\mathbb{R}/\Sigma\right)$ ?

No es difícil ver que $\dim\left(2^\mathbb{R}/\Sigma\right)$ es al menos contable, por lo que si $\Sigma$ fuera medible, sería un conjunto nulo. Pero hasta ahí llegué.

Answer 1

La respuesta a tu segunda pregunta (asumiendo el axioma de elección, para esquivar el comentario de Asaf) es que $2^{\mathbb R}/\Sigma$ tiene dimensión $2^{\mathfrak c}$ , donde $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ es la cardinalidad del continuo. El ingrediente principal de la prueba es una partición de $[0,1]$ en $\mathfrak c$ subconjuntos, cada uno de los cuales interseca cada subconjunto cerrado incontable de $[0,1]$ . Para obtener dicha partición, primero hay que tener en cuenta que sólo hay $\mathfrak c$ subconjuntos cerrados de $[0,1]$ para poder enumerarlas en una secuencia de longitud (el ordinal inicial de cardinalidad) $\mathfrak c$ de tal manera que cada conjunto cerrado sea enumerado $\mathfrak c$ tiempos. En segundo lugar, recordemos que todo subconjunto cerrado e incontable de $[0,1]$ tiene cardinalidad $\mathfrak c$ . Por último, haz una construcción inductiva transfinita de $\mathfrak c$ se pone en $\mathfrak c$ los pasos siguientes: En cualquier paso, si el conjunto cerrado en esa posición de la lista es $C$ y si este es su $\alpha$ -en la lista, y luego poner un elemento de $C$ en el $\alpha$ -de los conjuntos en construcción, teniendo cuidado de utilizar un elemento de $C$ que no se haya puesto ya en otro de los conjuntos en construcción. Puede ser así de cuidadoso, porque menos de $\mathfrak c$ puntos se han puesto en cualquiera de sus conjuntos en los menos de $\mathfrak c$ etapas anteriores, mientras que $C$ tiene $\mathfrak c$ puntos para elegir. Al final, si algunos puntos en $[0,1]$ permanecen sin asignar a ninguno de los conjuntos en construcción, colóquelos en algunos de estos conjuntos arbitrariamente, para obtener una partición de $[0,1]$ .

Una vez que se tiene esta partición, nótese que cada trozo tiene medida exterior 1, porque de lo contrario sería disjunta de algún conjunto cerrado que tenga medida positiva y sea por tanto incontable. Esto implica que, entre los $2^{\mathfrak c}$ conjuntos que puedes formar como uniones de las piezas de tu partición, sólo $\varnothing$ y $[0,1]$ puede ser medible. En particular, ninguna diferencia finita, no vacía y simétrica de estos trozos es medible. Es decir, representan elementos linealmente independientes de $2^{\mathbb R}/\Sigma$ .

Answer 2

$\Sigma$ no es claramente un conjunto medible en el producto sigma-álgebra, además es tan no medible que todo conjunto medible que lo contiene es el conjunto entero (cualquier conjunto medible contenido en él es trivial).

Prueba: Consideremos el conjunto de conjuntos de números reales formado por todos los conjuntos de números reales $S$ donde si un conjunto de números reales $T$ está contenida en $S$ se determina por $T \cap U$ para un conjunto contable de números reales $U$ . Es decir, si $T' \cap U=T \cap U$ entonces $T' \in S$ si y sólo si $T \in S$ . De manera menos formal, este conjunto de conjuntos de números reales está formado por todas las propiedades que se pueden comprobar sólo mirando a un número contable de puntos.

Esto es claramente una sigma-álgebra. Contiene el producto sigma-álgebra porque contiene conjuntos de la forma $\{T\in 2^{\mathbb R}| x\in T\}$ para cada número real $x$ . Y es evidente que no contiene al conjunto de conjuntos medibles, ni a ningún conjunto propio que contenga al conjunto de conjuntos medibles, ni a ningún conjunto no trivial contenido en el conjunto de conjuntos medibles, porque se pueden añadir o eliminar conjuntos contables arbitrarios de un conjunto medible/no medible y conservar su medibilidad/no medibilidad, y existen tanto conjuntos medibles como no medibles.

Answer 3

El problema de la elección de subconjuntos al azar se ha estudiado en un contexto bastante diferente en la economía matemática. Supongamos que elegimos un subconjunto de $[0,1]$ lanzando independientemente una moneda justa para cada número. Heurísticamente, dicho conjunto debería tener la medida $1/2$ . Pues lo que hacemos es elegir aleatoriamente una función indicadora con expectativa puntual $1/2$ . Por alguna apelación intuitiva a la ley de los grandes números, las realizaciones de la muestra deberían tener la misma expectativa. Este tipo de razonamiento se utiliza mucho en economía. Una gran población se modela mediante un continuo e incluso cuando cada persona se enfrenta a la incertidumbre individual, no debería haber incertidumbre agregada.

Por la razón expuesta por Will Sawin, el enfoque ingenuo no funciona del todo bien. Para la medida de Lebesgue, algunas intuiciones provienen de Teorema de Lusin en el sentido de que toda función medible es continua en un subconjunto "grande". La continuidad es una condición para que el valor en un punto esté estrechamente relacionado con el valor en los puntos cercanos. Si se elige de forma independiente en cada valor, no se espera obtener una función continua en un conjunto grande.

El compromiso general entre la independencia y las realizaciones muestrales medibles se expresa con fuerza en el siguiente resultado de Yeneng Sun :

Propuesta: Dejemos que $(I,\mathcal{I},\mu)$ y $(X,\mathcal{X},\nu)$ sean espacios de probabilidad con un espacio de probabilidad de producto (completo) $(I\times X,\mathcal{I}\otimes\mathcal{X},\mu\otimes\nu)$ y $f$ sea una función medible conjuntamente de $I\times X$ a $\mathbb{R}$ tal que para $\mu\otimes\mu$ -casi todos $(i,j)$ las funciones $f(i,\cdot)$ y $f(j,\cdot)$ son independientes. Entonces para $\mu$ -casi todos $i$ la función $f(i,\cdot)$ es constante.

Nótese que la condición de independencia en este resultado es bastante débil. Sun la llama independencia casi segura de los pares . Pero un descubrimiento importante de Sun fue que si la mensurabilidad conjunta y la independencia casi segura por pares eran compatibles, se podía obtener una ley exacta de los grandes números para un continuo de variables aleatorias mediante una aplicación del teorema de Fubini. En particular, dicha ley de los grandes números es válida para las extensiones de los espacios de productos que permiten que se cumpla la conclusión del teorema de Fubini y que aún permiten procesos independientes no triviales (a.s. pairwise). Llamó a tales extensiones ricas extensiones Fubini y dio un ejemplo de ese espacio de productos: El producto Loeb de dos espacios Loeb hiperfinitos. Así que uno puede obtener conjuntos aleatorios naturales para algunos espacios. La referencia es: La ley exacta de los grandes números mediante la extensión de Fubini y la caracterización de los riesgos asegurables (2006)

Un estudio sistemático de las extensiones ricas de Fubini fue realizado por Konrad Podczeck en el documento Sobre la existencia de extensiones ricas de Fubini (2010) , en el que ha demostrado esencialmente que se pueden elegir subconjuntos aleatorios de un espacio de probabilidad si y sólo si el espacio de probabilidad tiene la siguiente propiedad, que él llamó super-atomlessnes (y que se conoce con muchos otros nombres como saturación ):

Para cualquier subconjunto $A$ con medida positiva, el álgebra de las medidas del rastro en $A$ no coincide con el álgebra de medidas de un espacio contablemente generado.

La medida de Lebesgue en el intervalo unitario no satisface esta condición, pero existen extensiones de la medida de Lebesgue que son superatómicas.

Conclusión: No se pueden obtener conjuntos aleatorios medibles de Lebesgue de forma sensata eligiendo independientemente elementos, pero sí se pueden elegir conjuntos aleatorios en una extensión de la medida de Lebesgue de esta forma.

Answer 4

Ver este increíble papel ...

Fremlin, David H.; Talagrand, Michel
Un teorema de descomposición para funciones de conjunto aditivas, con aplicaciones a las integrales de Pettis y a los medios ergódicos. Matemáticas. Z. 168 (1979), nº 2, 117-142.

http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=544700