¿Está un rotor equilibrado a velocidad angular constante?

Question

Tengo una parte giratoria asimétrica. Hace vibrar su carcasa y emite un ruido audible. Necesito añadir pesos para asegurar una rotación suave. Sin embargo, estoy limitado en cuanto a las regiones en las que puedo añadir material. No puedo aprovechar la simetría rotacional para equilibrar este rotor.

Defino un rotor como sistema rígido de partículas, cada una con masa $m_n$ y posición $r_n \mathbb\in {R}^3$ , girado alrededor de $k$ (el eje z) .

¿Qué fórmula describe un rotor que está equilibrado cuando gira a velocidad constante? Según Update International, un proveedor de sistemas de equilibrado de rotores, el problema se divide en estático y pareja desequilibrio . Aquí están mis interpretaciones:

Equilibrio estático

Cuando la velocidad angular $\omega\neq0$ una fuerza neta actúa de forma ortogonal a $k$ , a través del centro de masa del rotor.

El desequilibrio estático se resuelve asegurando que el centro de masa $C = \dfrac{\sum m_n r_n}{\sum m_n}$ se encuentra a lo largo de $k$ .

$C \times \hat{k} = 0$

Junto con la fracción cancelada:

$\sum m_n r_n \times \hat{k} = 0$

Reescrito como un sistema escalar:

$\begin{cases} \sum m_n r_{n,x} = 0 \\ \sum m_n r_{n,y} = 0 \end{cases}$

Desequilibrio de la pareja

Cuando se cumplen los requisitos anteriores, un par de fuerzas netas iguales y opuestas actúan en diferentes puntos del eje. Las fuerzas son perpendiculares al eje.

Estoy atascado. ¿Cómo se produce el desequilibrio de la pareja en las masas puntuales?

Answer 1

Me lo imaginé. El desequilibrio de la pareja es el par. Queremos un sistema en el que el par de todas las partículas se cancele, o $\sum T_n = 0$ .

El par se define como $T = r \times F$ , donde $r$ es el vector desde el centro de masa hasta el punto donde se aplica la fuerza. El centro de masa ya está limitado a $C \times \hat{k} = 0$ ; reforzaremos esa restricción para $C = 0$ , lo que deja esta sencilla ecuación para el par en la masa puntual $n$ :

$T_n = r_n \times F_n$

La fuerza centrípeta se define como $F = m r_\perp \omega^2$ donde $r_\perp$ excluye el componente paralelo a $k$ .

$r_{n\perp} = r_n \cdot (\hat{i} + \hat{j})$

Combinado:

$T_n = r_n \times (m_n r_{n\perp} \omega^2)$

$\sum r_n \times (m_n r_{n\perp} \omega^2) = 0$

Constante $\omega^2$ se reparte:

$\sum r_n \times r_{n\perp} m_n = 0$

Reescrito como un sistema escalar (nótese que $r_{n\perp,z}=0$ ):

$\begin{cases} \sum (r_{n,z} r_{n,y} - 0) m_n = 0 \\ \sum (0 - r_{n,z} r_{n,x}) m_n = 0 \\ \sum (r_{n,x} r_{n,y} − r_{n,y} r_{n,x}) m_n = 0 \end{cases}$

Simplifica aún más y elimina la última ecuación (una identidad):

$\begin{cases} \sum m_n r_{n,x} r_{n,z} = 0 \\ \sum m_n r_{n,y} r_{n,z} = 0 \end{cases}$

Así que junto con la condición $C = 0$ obtenemos un sistema de ecuaciones lineales que describe cualquier rotor que esté en equilibrio al girar a velocidad constante alrededor de $k$ :

$\begin{cases} \sum m_n r_{n,x} = 0 \\ \sum m_n r_{n,y} = 0 \\ \sum m_n r_{n,z} = 0 \\ \sum m_n r_{n,x} r_{n,z} = 0 \\ \sum m_n r_{n,y} r_{n,z} = 0 \end{cases}$

Más información:

• Par de apriete - Wikipedia
• Dinámica de cuerpos rígidos - Wikipedia
• Ejemplo en el que el momento angular y la velocidad angular no son paralelos - Physics StackExchange
• Sobre la relación entre el momento angular y la velocidad angular - J. P. Silva y J. M. Tavares