Me gustaría entender por qué el factor de conformación de la bola de Poincaré suele definirse así:
$$ \lambda_{x}=\frac{2}{1+\kappa\|x\|_2^2} $$
donde $\kappa$ es la curvatura seccional de la bola de Poincaré.
He encontrado el siguiente documento (Teorema 1.5, página 1), que parece decir que el factor de conformación está definido de forma única, hasta una constante de escala.
http://pi.math.cornell.edu/~bowman/metrics.pdf
Me pregunto por qué se suele utilizar un 2 en el numerador, en lugar de un 1. ¿Existe alguna razón (por ejemplo, convenciones en física) para que exista la convención de utilizar un 2 en el numerador?
El factor de conformación juega un papel importante en la métrica $g_x$ . Como la métrica se define como $g_x=\lambda_x^2 I$ donde $I$ es la matriz de identidad.
Hay mucha literatura que muestra cómo se recupera la geometría euclidiana cuando la curvatura $\kappa\to 0$ . Sin embargo, con el factor de conformación actual, la geometría euclidiana tendría la métrica
$$ \lim_{\kappa\to 0} g_{x}=4I. $$
Sería mejor utilizar un factor de conformación con un 1 en el numerador para obtener exactamente el tensor métrico euclidiano $I$ .
Así que me gustaría saber cuáles son las razones para elegir el factor de conformación con un 2 en el numerador y no un 1. Y me gustaría saber qué lo induce.
Lo que he pensado hasta ahora:
Empecemos por los requisitos mínimos de una variedad riemanniana. El colector liso $M$ y la métrica de Riemann $g$ . Así que tenemos la variedad riemanniana $(R,g)$ . Ahora, en realidad, somos libres de definir $g$ como quisiéramos, siempre que se trate de una métrica riemanniana.
En el caso de la bola de Poincaré, el factor de conformación en $g_x=(\lambda_x)^2 I$ sólo define cómo se interpreta un vector en el espacio tangente a $x$ en un punto determinado.
Por ejemplo, cuando calculamos la norma del espacio tangente, el mismo vector $v\in\mathbb{R}^d$ se interpreta de forma diferente en los distintos espacios tangentes. Por ejemplo,
- La norma de $v$ sólo se escala por un factor de 2 en el origen (ya que el factor de conformación tiene un 2 en el numerador y el denominador se convierte en 1)
- El mismo $v$ representa una longitud mucho mayor si se trata de un vector en el espacio tangente de un punto que está cerca de la frontera de la bola de Poincaré. Entonces el denominador en el factor de conformación se hace infinitamente pequeño y por lo tanto la norma infinitamente grande.
Así, puedo entender cómo el factor de conformación explica la interpretación de la escala de los vectores tangentes. Parece que la parte importante, relevante para el comportamiento de la escala está sólo en el denotador. ¿Se puede elegir arbitrariamente el valor del numerador? ¿Por qué se suele elegir que sea 2?
Parece que cambiar la escala del factor de conformación equivale a cambiar la escala de los vectores base de los espacios tangentes en algún punto x. A mí me parece que nada debería prohibirme elegir libremente la escala de estos vectores base. Aun así, ¿por qué la gente prefiere tener una escala de 2 en el origen en lugar de 1? ¿De dónde sale el 2?
Mi suposición actual es que proviene de las convenciones del cálculo tensorial. He pensado un poco más en ello y me he dado cuenta de lo siguiente: Un punto dentro de la bola de Poincaré es una forma de especificar alguna cantidad geométrica verdadera. Así, la bola de Poincaré puede verse como un sistema de coordenadas . Y su base covariante proviene de la derivación de la cantidad geométrica real en relación con el coordenadas en la bola de Poincaré. Ahora, me pregunto cuál es el cantidad geométrica real es. Puede ser que sólo sea un punto del hiperboloide en el espacio ambiental euclidiano. Así que derivar la proyección de la bola de Poincaré a puntos del hiperboloide en el espacio ambiental euclidiano podría ser lo que da como resultado esto base covariante que da el factor de conformación que escala el tensor métrico covariante .
