El siguiente texto citado es de la obra de Evar D. Nering Álgebra lineal y teoría de las matrices, 2ª ed.
Teorema 3.5. En un espacio vectorial de dimensión finita, todo conjunto de extensión contiene una base.
Prueba: Sea $\mathcal{B}$ sea un conjunto que abarque $\mathcal{V}$ . Si $\mathcal{V}=\{0\}$ entonces $\emptyset\subset\mathcal{B}$ es una base de $\{0\}$ . Si $\mathcal{V}\ne\{0\}$ entonces $\mathcal{B}$ debe contener al menos un al menos un vector distinto de cero $\alpha_{1}$ . Ahora buscamos otro vector en $\mathcal{B}$ que no depende de $\{\alpha_{1}\}$ . En llamamos a este vector $\alpha_{2}$ y buscar otro vector en $\mathcal{B}$ que no depende del conjunto linealmente independiente $\{\alpha_{1},\alpha_{2}\}$ . Seguimos así mientras podamos que podamos, pero el proceso debe terminar ya que no podemos encontrar más que $n$ vectores linealmente independientes en $\mathcal{B}$ . Por lo tanto, supongamos que hemos obtenido el conjunto $\mathcal{A}=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}\}$ con la propiedad de que cada vector en $\mathcal{B}$ depende linealmente de en $\mathcal{A}$ . Entonces, debido al Teorema 2.1 el conjunto $\mathcal{A}$ también debe abarcar $\mathcal{V}$ y es una base.
El razonamiento de la prueba parece circular. "Buscad y encontraréis" no es muy riguroso. Ciertamente creo que podría encontrar tales vectores linealmente independientes, pero eso es porque creo que el teorema es cierto.
¿La prueba es satisfactoria?
Puede que yo sea capaz de elaborar mi propia prueba, pero aún así me gustaría saber si la prueba de Nering es satisfactoria para los matemáticos.
