Confusión sobre las derivadas sucesivas de la posición en el movimiento circular

Question

Supongamos que definimos un vector unitario $\vec r$ a lo largo de la dirección radial para una partícula en movimiento circular uniforme a una frecuencia angular $\omega$ . Entonces podemos escribir:

$$\vec r = \cos(\omega t)\hat i + \sin(\omega t)\hat j$$

Y el módulo de este vector es uno. Si diferenciamos esto para obtener la velocidad obtenemos

$$\vec v = \omega(-\sin(\omega t)\hat i + \cos(\omega t)\hat j)$$

Y el módulo de la velocidad es $\omega$ . Diferenciamos de nuevo para obtener la aceleración y obtenemos:

$$\vec a = \omega^2(-\cos(\omega t)\hat i - \sin(\omega t)\hat j)$$

Y el módulo de la velocidad es $\omega^2$ . En general encontramos:

$$ \left|\frac{d^n\vec r}{dt^n} \right| = \omega^n $$

Esto se siente raro, porque para cualquier $\omega > 1$ el módulo de cada derivada sucesiva sigue aumentando sin límite a medida que aumentamos $n$ Y, sin embargo, eso es lo que nos dice el cálculo. ¿Hay alguna manera de entender intuitivamente lo que significa que las derivadas sucesivas aumenten hasta el infinito para $n \to \infty$ ?

Answer 1

Creo que hay un momento de enseñanza aquí, en el sentido de que creo que podemos obtener una visión a través de una manera diferente de enmarcar su pregunta.

Lo primero que hay que tener en cuenta es que $\omega$ tiene unas dimensiones de $[{\rm time}]^{-1}$ (en unidades del SI, ${\rm s}^{-1}$ ). Por lo tanto, no tiene sentido comparar $\omega$ a un número adimensional, como $1$ Así pues, decir que $\omega>1$ o $\omega<1$ no es una declaración bien formada. El valor numérico de $\omega$ puede ser mayor, menor o igual que uno, dependiendo del sistema de unidades elegido.

De hecho, para un movimiento circular uniforme, siempre podemos elegir unidades en las que $\omega=1 /({\rm unit\ of\ time})$ . Esto equivale a decir que elegimos nuestra unidad de tiempo para que la partícula dé una vuelta al círculo en una unidad de tiempo, o en términos más físicos, utilizamos la propia partícula como nuestro reloj (pensemos en la partícula como el segundero de un cronómetro).

En estas unidades, todas las derivadas toman el mismo valor, ya que $\omega=1$ en nuestras unidades. Así que esto debería indicarte que nada está realmente "explotando" físicamente. Lo que se ve es una especie de autosimilaridad, en la que el movimiento y todas sus derivadas cambian constantemente.

El crecimiento aparente que encontrabas a valores cada vez más grandes de $n$ es un artefacto de las unidades que se utilizan para describir el sistema. Consideremos la primera derivada. La componente x de la velocidad tiene que cambiar de $v_x = 2\pi R \omega $ a 0 en el transcurso de un cuarto de órbita alrededor del círculo. El tiempo que tarda un cuarto de ciclo es $T_{1/4}=1/(4\omega)$ ya que $1/\omega$ es por definición el tiempo de un ciclo. Por lo tanto, la aceleración durante este período debe ser $a_x=-2\pi R \omega / (1/4\omega) = - 8\pi R \omega^2$ . Hay dos poderes de $\omega$ en esta expresión: una procedente de la componente x original de la velocidad que debía perderse en un cuarto de ciclo, y otra potencia que representa la unidad de tiempo en la que se produjo la desaceleración. Esto explica por qué hay un factor de $\omega^2$ en la aceleración (2ª derivada), pero ten en cuenta que no implica que haya ninguna divergencia. Si elegimos medir el movimiento de la partícula en diferentes unidades, el valor numérico de la aceleración podría ser mayor o menor o permanecer igual que la velocidad.

Un argumento similar funciona para cada derivada sucesiva del movimiento.

Answer 2

Se comienza con $\vec v_1$

$$\vec v_1= \left[ \begin {array}{c} \rho\,\cos \left( \varphi _{{0}} \right) \\ \rho\,\sin \left( \varphi _{{0}} \right) \end {array} \right] $$ la primera derivada temporal es :

$$\vec v_2=\vec {\dot{v}}_1=\omega\,S(\frac \pi2)\,\vec v_1$$ con $$S(\varphi)=\left[ \begin {array}{cc} \cos \left( \varphi \right) &-\sin \left( \varphi \right) \\ \sin \left( \varphi \right) & \cos \left( \varphi \right) \end {array} \right] $$

$$\vec v_2=\left[ \begin {array}{c} -\omega\,\rho\,\sin \left( \varphi _{{0}} \right) \\ \omega\,\rho\,\cos \left( \varphi _{{0}} \right) \end {array} \right] $$

donde $\vec{v}_2 \perp\vec{v}_1$

la segunda derivada temporal es :

$$\vec v_3=\vec {\ddot{v}}_1=\omega\,S(\frac \pi2)\,\vec v_2= \left[ \begin {array}{c} -{\omega}^{2}\rho\,\cos \left( \varphi _{{0} } \right) \\ -{\omega}^{2}\rho\,\sin \left( \varphi _{{0}} \right) \end {array} \right] $$

donde $\vec{v}_3 \perp\vec{v}_2$

$$\vec v_n= {\frac{d^n}{dt^n}}\vec{v}_1=\omega\,S(\frac \pi2)\,\vec v_{n-1}$$ donde $\vec{v}_n \perp\vec{v}_{n-1}$

conclusión un nuevo vector de derivadas se obtiene rotando el vector de derivadas anterior con un ángulo de rotación $\pi/2$ y multiplicando por $\omega$

Answer 3

¿Hay alguna manera de entender intuitivamente lo que significa que las derivadas sucesivas aumenten hasta el infinito

Un fenómeno similar ocurre con derivados de la posición en un movimiento lineal. Cuarta derivada de la posición es instantánea, y dicho movimiento se describe mediante la ecuación : $$ {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4} $$

Así que $\vec r = f(t^1,t^2,t^3,t^4)$ es una ecuación polinómica de grado 4.

Quinta derivada de posición es el crujido, y dicho movimiento se describe con :

$$ {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5} $$

El vector de posición se describe mediante una ecuación polinómica de 5º grado, $\vec r = f(t^1,t^2,t^3,t^4,t^5)$

Por último, pero no el final,- Sexta derivada de posición es abalanzarse, con ecuación de movimiento :

$$ {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\frac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6} $$

Esto es un polinomio de 6º grado. En general parece que el vector de posición puede ser descrito por polinomio de grado n con respecto al tiempo : $$\vec r = \vec r(t^1,t^2,\cdots,t^n)$$

O como se expresa la serie :

$$ \vec {r}={\vec {r}}_{0}+\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)!} \vec x_k\,t^{k+1} $$

En cuanto a la interpretación física del aumento del grado polinómico de forma monótona, es difícil de decir. Probablemente que no hay límites técnicos de lo que puede cambiar . Las derivadas de orden superior indican que algo en un sistema está cambiando a una velocidad que una derivada de orden inferior no es capaz de afrontar.