¿Están todas las funciones elementales continuas reales incluidas en $$ e^{kx} $$ $k$ es un número complejo , $x$ es una variable real . Esta pregunta se me ocurrió al resolver una EDO lineal de orden superior. Usamos una sustitución como esta para resolver esas ecuaciones y a menudo escucho a la gente decir que asumimos que la solución es una función exponecial, aunque a menudo obtenemos $ \sin, \cos $ (que obtenemos por la magia de la fórmula de Euler).
Si $k$ es un número real sólo tenemos la función exponencial. Si $k$ es igual a $i$ obtenemos $ \sin, \cos $ podemos obtener otras todas las demás funciones como $x^n$ o $\log x$ si $k$ es un número complejo $a+ib$ entonces tendríamos $$ e ^{(a+ib)x}=e^{ax}(\cos bx+i \sin bx) $$
Entonces, ¿podemos encontrar $a,b$ como esta expresión es igual a, por ejemplo $ \sqrt x $ para todos $x$ . Creo que no es posible pero resolviendo esa ecuación para $a,b$ sólo parece posible numéricamente
