Aplicación del teorema de Pick

Question

Digamos que $X$ es un paralelogramo con vértices que tienen coordenadas enteras, ¿cómo podría demostrar que $X$ ¿Es el área de un número entero?

Los vértices son $0, A, B$ y $A + B$ . ¿Cómo lo haría?

Answer 1

El área del paralelogramo con dos lados definidos por los vectores de posición $A=(a,b)$ y $B=(c,d)$ desde el origen viene dada por la magnitud del producto cruzado de los vectores: $$|A×B|=|(0,0,ad-bc)|=|ad-bc|$$ Dado que todos los $a,b,c,d$ son enteros aquí, el área $|ad-bc|$ también es un número entero.

Answer 2

Si $A=x_1 +iy_1$ y $B=x_2+iy_2$ entonces

$A\bar B = (x_1+iy_1)(x_2-iy_2) = (x_1x_2 +y_1y_2) + i(x_2y_1-x_1y_2)$

así que $|Im(A\bar B)| = |x_2y_1-x_1y_2|$ que es el área del paralelogramo.