¿Es la categoría de haces vectoriales sobre un espacio topológico abeliano?

Question

Consideremos el haz trivial $V=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ y el mapa $f:V\rightarrow V$ dado por $(t,x)\mapsto(t,tx)$ . Esto tiene núcleos y cokernels fibrosos, pero los rangos saltan a 0, por lo que el núcleo y el cokernel de $f$ (como gavillas) no son haces vectoriales. Este ejemplo (o uno similar) se da a menudo para demostrar que Vect( $X$ ) no es en general abeliana (ni siquiera preabeliana).

Pero esto no me parece correcto. Sólo porque $f$ tiene un núcleo (digamos) $K$ en Sh( $X$ ) que no es un objeto de Vect( $X$ ) no significa que no exista un objeto de Vect( $X$ ) que es un núcleo para $f$ en Vect( $X$ ). En el ejemplo anterior, el paquete cero parece hacer el trabajo? De hecho, creo que siempre se puede arreglar este comportamiento de salto de rango extendiendo suavemente sobre los puntos malos (¿o me equivoco?).

La situación se confunde aún más cuando Serge Lang afirma (en Álgebra, p. 134) "la categoría de haces vectoriales sobre un espacio topológico es una categoría abeliana".

Como contrapartida a la autoridad Ravi Vakil ha (Fundamentos de AG señala) "gavillas localmente libres (es decir, haces vectoriales), junto con mapas razonablemente naturales entre ellos (los que surgen como mapas de $\mathcal{O}_X$ -), no forman un abeliano categoría abeliana".

Entonces, ¿la categoría de haces vectoriales sobre un espacio topológico es abeliana o no?

Answer 1

No hay que esperar que los haces vectoriales formen una categoría abeliana porque son objetos de módulos proyectivos sobre objetos de anillos locales en una categoría de gavillas sobre un espacio. En otras palabras, no hay más razón para esperar esto de los haces vectoriales que de una categoría de módulos proyectivos generados finitamente sobre un anillo.

Podría ayudar añadir que tomar tallos en un punto es un functor exacto (preserva todos los colímites y todos los límites finitos), por lo que los núcleos y los coquetos se preservarían bajo la toma de tallos en puntos. Además, si el espacio es sobrio, entonces tomar tallos refleja colectivamente los núcleos y los coquenes también. Esto debería ser una garantía de que se están calculando correctamente los núcleos y los coquenes.

Answer 2

Hay dos candidatos para una categoría cuyos objetos son haces vectoriales en $X$ . La candidatura (1) es la que describen tú y las notas de Ravi Vakil: los morfismos son todos mapas de $\mathcal{O}_X$ -módulos. Como se observa, esto no tiene los núcleos y cokernels obvios, y como toda gavilla coherente es localmente un cociente de $\mathcal{O}_X$ -los actuales tienen que coincidir con los obvios (que son los co/kernels en la categoría de gavillas coherentes).

La candidata (2) tiene como morfismos sólo los de rango constante o, lo que es lo mismo, aquellos en los que el cociente de la gavilla es un haz vectorial. Esto hace que el núcleo de la gavilla sea también un haz vectorial, pero este candidato tiene varios problemas identificados en los comentarios y, como resultado, no es ni abeliano ni una categoría.

Answer 3

He aquí un argumento para demostrar que esta categoría no tiene núcleos. Tomemos $X$ para ser el intervalo $[-1,1]$ y considerar el auto-mapa del haz trivial $X \times \mathbb{R}$ dado por $$ (x,t) \mapsto (x, (x + |x|)t). $$ Supongamos que esto tuviera un núcleo $K$ , encajando en una secuencia $K \to X \times \mathbb{R} \to X \times \mathbb{R}$ . Obtenemos una secuencia de módulos de secciones globales $$ \Gamma(K) \to C(X) \stackrel{x + |x|}{\longrightarrow} C(X) $$ sobre el anillo $C(X)$ de funciones continuas sobre $X$ . (Ya se ha mencionado el teorema de Serre-Swan; son datos equivalentes).

Sin embargo, el functor de sección global es otro nombre para $Hom(X \times \mathbb{R}, -)$ en la categoría de haces vectoriales, por lo que la propiedad "kernel" implica que el módulo $\Gamma(K)$ sería en realidad el núcleo de la multiplicación por $x + |x|$ .

Esto es imposible. Cada elemento en $\Gamma(K)$ es aniquilado por $x + |x|$ por definición, y $\Gamma(K)$ es no vacía, pero todo haz vectorial no nulo en $X$ es alguna potencia del haz trivial (por la propiedad de invariancia de la homotopía) y tiene muchas secciones que no desaparecen en $(0,1]$ .