Fundamentos matemáticos de la teoría cuántica de campos

Question

¿Existe algún enfoque razonable, esencialmente diferente de los axiomas de Wightman y de la Teoría Cuántica de Campos Algebraica, destinado a obtener modelos rigurosos para las Teorías Cuánticas de Campos realistas? (como la Electrodinámica Cuántica).

EDIT: la razón para preguntar "esencialmente diferente" es la siguiente. Es posible pensar intuitivamente que los "estados" son soluciones de las ecuaciones de movimiento (en cierto sentido, en un "espacio multipartícula"). En la QFT interactiva realista, las ecuaciones de movimiento son no lineales. Por lo tanto, según el concepto intuitivo que he elegido, un espacio de estados razonable debería ser no lineal (algo así como un colector de Hilbert). Mientras tanto, en los marcos de Wightman o AQFT, los espacios de estado son espacios de Hilbert. Esto parece corresponderse con el hecho de que es muy muy difícil construir QFT interactivas en estos marcos. Así que, como deseo... debería haber un marco diferente, más amigable con la interacción, donde los modelos realistas surjan de una manera más natural.

¿Existe ya algo en este sentido?

Answer 1

Sí, por supuesto, hay mucha investigación sobre el rigor matemático en la teoría cuántica de campos. Por supuesto, no sé lo que significan para usted "razonable", "esencialmente diferente" y "realista", pero yo diría que hay enfoques "razonables" y que algunos de ellos abordan teorías de campo "realistas". Por otra parte, el "rigor" por sí mismo está lejos de ser el objetivo principal de la física matemática, como se ha discutido muchas veces aquí y en nuestros sitios hermanos. Véase, por ejemplo https://physics.stackexchange.com/questions/27665/the-role-of-rigor .

Pero, en cualquier caso, mencionas la QED, y más generalmente la teoría cuántica de campos "realista" significa casi con toda seguridad la Teoría de Yang-Mills + materia, ya que es lo que aparece en el Modelo Estándar. Aquí hay profundas cuestiones abiertas, como las relacionadas con la brecha de masa. Pero algunas partes ya se entienden. Una parte en particular es la perturbador Enfoque integral de la teoría del campo lagrangiano, donde la parte más profunda de la historia es la de teoría de la renormalización . El libro de Kevin Costello hace un buen trabajo, creo, explicando a los matemáticos qué es la teoría de la renormalización, situándola dentro de un lenguaje de álgebra homológica.

Pero usted trae a colación los axiomas de Wightman y la AQFT, lo que sugiere que está menos interesado en hacer una física rigurosa como la que se practica, y más en axiomatizar su estructura general. Por supuesto, todavía no hay consenso en cuanto a la axiomatización correcta -casi todas las propuestas no tienen ejemplos no triviales-, pero muchas estructuras parecen ser comunes. Existe una versión más flexible de AQFT, denominada álgebra de factorización y detallado en El libro de Costello con Owen Gwilliam que creo que contribuye en gran medida a proporcionar un marco básico. Ciertamente, todas las teorías físicas tendrán más estructura común que la de ser un álgebra de factorización; pero es muy común que escribamos un sistema de axiomas y luego los ejemplos que aparecen "en la naturaleza" son bastante especiales.

Todavía no estoy convencido de que la imagen de "Schrodinger" sea fundamentalmente correcta. Esta es la imagen que subyace, por ejemplo, a la cuantización geométrica, y también a la imagen Atiyah-Kontsevich-Segal-etc de la QFT (originalmente TQFT, pero ahora más general). Ciertamente, esta versión de la QFT es una estructura matemática interesante de estudiar, pero surge de la imagen de "Heisenberg" que sustenta las álgebras de factorización sólo porque a veces ciertos objetos algebraicos tienen representaciones proyectivas únicas, o al menos canónicas.

Por último, quiero hacer un comentario más sobre el éxito de la QFT perturbativa y de algunas no perturbativas. A saber, casi toda la QFT que se ha escrito se ha descrito en un formalismo de "integral de trayectoria" en un sentido u otro. Ciertamente, esto es cierto para las teorías de campo perturbativas del libro de Kevin. Pero probablemente "tener una descripción integral de trayectoria" no es fundamental para la noción de QFT. De manera relacionada, "tener un límite clásico" no es fundamental. Recomiendo encarecidamente Notas de Dijkgraaf sobre Les Houches Este punto se trata en la sección 2.2.

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Editar: El OP ha aclarado la pregunta para preguntar sobre cómo no lineal la teoría cuántica de campos puede llevar a la lineal álgebra de los espacios de Hilbert. Creo que esto es parte de una confusión estándar con la imagen desarrollada de la cuantización, y lo que son los "espacios cuánticos". La respuesta corta es que una noción decente de "espacio cuántico" es un espacio de Hilbert con alguna estructura adicional (por ejemplo, un "triple espectral" de Connes et al). Para la respuesta larga, me limitaré a la mecánica cuántica (no lineal), que es el modelo sigma cuántico no lineal en una dimensión.

La forma más básica de la mecánica cuántica, después de Feynman y bien sintonizada para ser portable a qft, viene de la siguiente imagen. Se te da un espacio de configuración clásico, que es un colector abstracto con cierta geometría (una métrica para definir la "masa", una forma 1 para definir el "potencial magnético externo", una función para definir el "potencial eléctrico externo", etc.). Esta geometría en particular determina para ti un "funcional de acción", que es una función sobre las trayectorias en este colector. Ahora se define un "álgebra cuántica de observables" como sigue. Existe una biyección entre los observables cuánticos y los observables clásicos, donde los "observables clásicos" son funciones sobre el haz tangente a tu espacio, también conocido como espacio de fase, por lo que los observables son funciones de posición y velocidad. Pero el álgebra cuántica tiene una estructura algebraica mucho más rica que el álgebra conmutativa de funciones. En concreto, dadas dos funciones $f_1$ y $f_2$ su producto depende de tres números $(t_1, t_2;t_3)$ y es: $$ (f_1\star_{(t_1,t_2;t_3)} f_2)(x,v) = \int_{\text{paths }\gamma\text{ s.t. } (\gamma,\dot\gamma)(t_3) = (x,v)} f(\gamma(t_1),\dot\gamma(t_1)) \ f(\gamma(t_2),\dot\gamma(t_2))\ \exp(\text{action}(\gamma)) $$ La asociatividad de esta álgebra es algo sutil, y depende de los tiempos. En realidad hay que pensar en esto como " $f_1$ insertado en el momento $t_1$ multiplicado por $f_2$ insertado en el momento $t_2$ medido en el momento $t_3$ ". Hay una forma directa de hacer evolucionar una función insertada en algún momento $t_1$ a un diferentes función insertada en cualquier otro momento $t_3$ : a saber, multiplicar $1$ en un momento arbitrario $t_2$ .

Ahora puedes hacer lo siguiente. Ya que podemos evolucionar las funciones, $t_3$ no hay muchos datos - vamos a decidir $t_3 = (t_1 + t_2)/2$ digamos. Ahora vamos a considerar las situaciones en las que $t_2 = t_1 + \epsilon$ para epsilon muy pequeño. Dividiendo por $\epsilon$ y tomando un límite, se obtiene un álgebra asociativa no conmutativa habitual.

Existe una noción general en matemáticas según la cual un "espacio" es el mismo dato que su álgebra (conmutativa) de funciones. Del mismo modo, se puede definir un "espacio no conmutativo" para ser los mismos datos que un álgebra no conmutativa de funciones. Como estamos haciendo integrales, las funciones con las que trabajamos son los tipos de funciones que aparecen en la teoría de la medida y el análisis funcional, más que en la geometría. El mero hecho de conocer el álgebra de las funciones medibles sobre un colector sólo nos dice que ese colector es un espacio de medidas, y todos los espacios de medidas son isomorfos, por lo que también hay que recordar algunos datos de la estructura suave y la métrica, etc. Del mismo modo, el álgebra que se obtiene más ingenuamente de esta construcción no sabe mucho; los datos adicionales son los de un "triple espectral".

Más concretamente, a las álgebras les gusta tener representaciones, y a las álgebras del análisis funcional les gusta estar representadas en espacios de Hilbert. Para QM (pero no para qft de dimensiones superiores), este espacio de Hilbert es esencialmente único (de forma similar a como "el" espacio de medidas es esencialmente único). La estructura adicional es lo que lo hace "curvo". En el caso que nos ocupa, este espacio de Hilbert esencialmente único surge de muchas maneras: por ejemplo, la acción escoge una forma simpléctica en el haz tangente a tu espacio de configuración, identificándola con el haz cotangente, y puedes elegir una manera de identificar funciones en el haz cotangente con operadores diferenciales, y entonces esa álgebra de operadores diferenciales puede identificarse naturalmente con el álgebra que hemos construido; de esta manera, el álgebra actúa sobre "funciones de onda" en tu espacio de configuración.

¿Es un espacio lineal? En realidad no. Ya he mencionado que pensar en él como lineal es un error (se olvida la geometría). Otra es que la representación es realmente proyectiva, por lo que el espacio real de los estados se parece más al espacio de las líneas que pasan por el origen en el espacio de Hilbert que al espacio de los puntos. Realmente, esta dicotomía lineal/no lineal es como decir de tu colector "Colector, prefiero que seas lineal, así que voy a permitir algunas combinaciones lineales de tus puntos".

Espero que esto ayude a aclarar algunas cosas, y en particular la dicotomía Schrodinger/Heisenberg a la que aludí antes.

Answer 2

Si leo correctamente tu pregunta actualizada, estás preguntando si la gente ha considerado modificaciones no lineales de la mecánica cuántica para acomodar las QFTs interactivas. Estoy seguro de que alguien, en algún lugar, lo ha hecho, pero ciertamente no es el pensamiento principal en la investigación de la QFT, ni en el lado de las matemáticas ni en el de la física teórica. Consideremos la cuestión análoga en la mecánica cuántica de las partículas: ¿las ecuaciones de movimiento no lineales requieren una modificación no lineal de la mecánica cuántica? La respuesta es, sin duda, no.

Sin entrar en generalidades, el átomo de hidrógeno y el potencial de doble pozo son ejemplos destacados de sistemas con ecuaciones de movimiento no lineales (Heisenberg) que viven perfectamente dentro del formalismo cuántico estándar (los estados forman un espacio de Hilbert lineal, los observables son operadores lineales sobre los estados, la evolución temporal es unitaria sobre los estados en la imagen de Schroedinger y la conjugación por operadores unitarios en la imagen de Heisenberg). Al pasar de la mecánica de partículas a la teoría de campos, lo que cambia es el número de dimensiones espacio-temporales, no el tipo de no linealidad en las ecuaciones de movimiento. Así que no hay ninguna razón matemática para esperar una modificación no lineal de la mecánica cuántica en la transición.

Ahora, unas palabras sobre su intuición respecto a los estados como soluciones a las ecuaciones del movimiento. Desgraciadamente, está un poco fuera de lugar. Como deberías saber, la QFT relativista se suele discutir en la imagen de Heisenberg. Esto significa que son los operadores de campo $\hat{\phi}(t,x)$ que obedecen a las ecuaciones de movimiento posiblemente no lineales. Por ejemplo, $\square\hat{\phi}(t,x) - \lambda{:}\hat{\phi}^3(t,x){:}=0$ , donde $\square$ es el operador de onda y los dos puntos denotan el ordenamiento normal. Por otro lado, los estados son sólo elementos $|\Psi\rangle$ de un espacio de Hilbert abstracto (con el estado de vacío $|0\rangle$ señalado por la invariancia de Poincaré), totalmente independiente de las coordenadas del espaciotiempo. Llegados a este punto, debería quedar claro por qué los estados no tienen nada que ver con las ecuaciones del movimiento.

Sin embargo, su intuición no carece totalmente de fundamento. Al explicarlo, también muestra cómo el formalismo estándar de la QFT (Wightman o cualquier otro relacionado) ya da cabida a las interacciones no lineales. Se puede definir la siguiente jerarquía de $n$ -funciones de punto (a veces llamadas Funciones de Wightman ): \begin{align} W^0_\Psi &= \langle 0|\Psi\rangle \\ W^1_\Psi(t_1,x_1) &= \langle 0|\hat{\phi}(t_1,x_1)|\Psi\rangle \\ W^2_\Psi(t_1,x_1;t_2,x_2) &= \langle 0|\hat{\phi}(t_1,x_1)\hat{\phi}(t_2,x_2)|\Psi\rangle \\ & \cdots \end{align} Es un resultado fundamental en la QFT (conocido con diferentes nombres, como el Teorema de reconstrucción de Wightman , representación multipartícula de los estados o simplemente segunda cuantificación ) que el conocimiento de todos los $W^n_\Psi$ es completamente equivalente al conocimiento de $|\Psi\rangle$ .

Estas funciones de Wightman, en virtud de las ecuaciones de movimiento de Heisenberg, satisfacen el siguiente sistema jerárquico de dimensiones infinitas \begin{align} \square_{t,x} W^1_\Psi(t,x) &= \lambda W^3_\Psi(t,x;t,x;t,x) + \text{(n-ord)} \\ \square_{t,x} W^2_\Psi(t,x;t_1,x_1) &= \lambda W^4_\Psi(t,x;t,x;t,x;t_1,x_1) + \text{(n-ord)} \\ \square_{t,x} W^2_\Psi(t_1,x_1;t,x) &= \lambda W^4_\Psi(t_1,x_1;t,x;t,x;t,x) + \text{(n-ord)} \\ & \cdots \end{align} Estoy siendo un poco descuidado con los límites de coincidencia aquí. Las funciones de Wightman son singulares si dos puntos espaciotemporales cualesquiera de sus argumentos coinciden, los términos etiquetados como (n-ord) representan las sustracciones reguladoras necesarias para que este límite sea finito. Esta regularización necesaria también explica por qué los términos no lineales en las ecuaciones de movimiento necesitaban un ordenamiento normal.

Si $\lambda=0$ la teoría es no-interactiva, entonces cada una de las ecuaciones anteriores para el $W^n_\Psi$ se convierte en algo autónomo (independiente de $n$ -funciones puntuales de distinto orden) e idénticas a las ecuaciones de movimiento ahora lineales. Llegados a este punto, debería quedar claro cómo su intuición se aplica de hecho a los estados de una QFT no interactiva. Estados $|\Psi\rangle$ puede ponerse en correspondencia con las "funciones de onda" multipartícula que resuelven las ecuaciones lineales del movimiento (que son en realidad las funciones de Wightman $W^n_\Psi$ ).

Finalmente, cuando se trata de construir modelos de QFT, la gente suele concentrarse sólo en las funciones de Wightman asociadas al estado de vacío, $W^n_0 = \langle 0|\cdots|0\rangle$ que son suficientes para reconstruir el correspondiente $n$ -funciones de punto para todos los demás estados. En resumen, los enfoques estándar de la QFT constructiva ya incorporan las interacciones no lineales de forma natural. Y las modificaciones no lineales del formalismo mecánico cuántico son simplemente un tema totalmente diferente e independiente.

Answer 3

Esencialmente, no existe nada parecido a lo que describes en la forma más detallada de tu pregunta por la importante razón de que tu "concepción intuitiva" de un hipotético espacio de estado no lineal es incorrecta.

La estructura lineal en una teoría cuántica NO TIENE NADA QUE VER con que las ecuaciones de movimiento sean lineales o no. Es una característica exacta que persiste independientemente de cualquier interacción. De hecho, el espacio de Hilbert surge del hecho de que una configuración de un sistema cuántico está dada como un funcional lineal de valor complejo del espacio vectorial $V$ que tiene una base en correspondencia biyectiva con los posibles estados clásicos del sistema. (Típicamente se requiere que estas funcionales sean normalizables al cuadrado en un sentido adecuado, pero esta cuestión es secundaria para la presente discusión). Los funcionales lineales, por supuesto, siempre tienen la estructura de un espacio vectorial y, en consecuencia, también el espacio de estados de una teoría mecánica cuántica, incluyendo en particular la teoría cuántica de campos.

Como ejemplo concreto consideremos la mecánica cuántica de una sola partícula que se mueve en una línea $\mathbb{R}$ . El espacio de las configuraciones clásicas es, por supuesto, la línea real, lo que significa exactamente que especificar toda la información clásica significa especificar una función $x(t)$ que le indica en qué punto $x$ la partícula puede encontrarse en el momento $t$ . Mecánicamente, esto se modifica como sigue. Introducimos un espacio vectorial $V$ con una base de estados en correspondencia biyectiva con el conjunto de todas las configuraciones clásicas permitidas. Así, en este ejemplo $V$ tiene una base para cada punto de $\mathbb{R}$ . El espacio de Hilbert de la teoría es entonces el espacio dual (sobre $\mathbb{C}$ ) a $V$ . Esto es cierto independientemente de las interacciones no lineales que se produzcan, y existe una gran variedad de modelos no lineales exactamente resolubles. En este ejemplo, el espacio dual se extiende por las funciones delta de Dirac, que se suelen denotar por $|x\rangle$ que indica el funcional que toma un valor distinto de cero en el elemento base correspondiente al punto $x$ y cero en todos los demás elementos de base asociados a los puntos $y\neq x$ . Como resultado, el espacio de Hilbert puede describirse como distribuciones (convenientemente normalizables) de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$ . La interpretación de un elemento de este espacio de Hilbert $\Psi(x): \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{C}$ es que el cuadrado de su norma especifica la distribución de probabilidad para que la partícula mecánica cuántica se observe en la posición $x$ . La evolución temporal de la función de onda $\Psi(x)$ se rige entonces siempre por la ecuación lineal de Schrodinger.

En una teoría cuántica de campos la estructura abstracta es la misma, sin embargo $V$ es típicamente un espacio vectorial mucho más grande ya que tiene una base en correspondencia con los campos, es decir, funciones del espacio a decir $\mathbb{R}$ .

Answer 4

Hay una buena formulación de la geometría de la QFT, disponible en:

Hacia las matemáticas de la teoría cuántica de campos (10 de enero de 2011) . URL publicada originalmente.

Hacia las matemáticas de la teoría cuántica de campos (30 nov 2012) . Actualizado.

Página web de Frédéric Paugam (Actual: 25 de junio de 2018).