¿Puede la suma de dos puntos racionales en una curva elíptica dar lugar a un punto integral?

Question

Dejemos que $E : y^2 = x^3 + ax + b$ sea una curva elíptica con $a,b \in \Bbb{Z}$ . Sabemos que por la ley del grupo el conjunto de puntos racionales en $E$ forma un grupo abeliano con $+$ como se define en el enlace anterior.

Dejemos que $P, Q \in E$ sean dos puntos en $E$ tal que uno de ellos tiene coordenadas racionales pero no integrales. ¿Es posible que $P + Q$ tiene coordenadas integrales? ¿Y si lo restringimos a $P + P$ , donde $P$ tiene coordenadas en $\Bbb{Q} \setminus \Bbb{Z}$ ? Probando algunos ejemplos parece que $P + Q$ no puede tener coordenadas integrales, pero no puedo demostrarlo con métodos elementales.

Contexto : Este problema está relacionado con un intento de demostrar que un punto integral $P$ no es de torsión si $P + P$ no tiene coordenadas integrales (no estoy seguro de que esto sea cierto). Si la afirmación anterior se cumple, entonces esto se deduce fácilmente. ¿Quizás haya una manera más fácil de hacerlo?

Answer 1

Reiterando mi comentario de arriba, toma $Q = -P + R$ , donde $R$ es cualquier punto integral para los contraejemplos a la primera pregunta.

Para el caso de $P + P$ La respuesta es sí. Tome $E: y^2 = x^3 + \frac{1}{4} x$ . Entonces $E(\mathbf{Q})_\mathrm{tor} \cong \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$ y es generado por $P = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right) \in E(\mathbf{Q}\setminus \mathbf{Z})$ pero $2P = (0, 0)$ .

Answer 2

Tome cualquier punto integral $P$ y cualquier punto racional no integral $Q$ tal que $P-Q$ no es integral (son fáciles de encontrar ya que el conjunto de puntos integrales es finito). Entonces $P=Q+(P-Q)$ .

Answer 3

Aquí hay una manera fácil de ver que si $P$ tiene coordenadas no integrales, entonces $[2](P)$ puede tener coordenadas integrales:

Demostraré que el contrapositivo de su proposición es falso. Esto dice: si $Q$ tiene coordenadas en $\Bbb Z$ , entonces los cuatro $P$ con $[2](P)=Q$ tienen coordenadas en $\Bbb Z$ . Pero si eso fuera cierto, entonces habría infinitos puntos con $\Bbb Z$ -coeficientes, bien conocidos por ser falsos.

(Reconozco que el argumento anterior no es autocontenido, ya que necesita el apoyo de teoremas bastante avanzados sobre las curvas elípticas. Dejaré que otros completen los detalles, si están dispuestos a hacerlo).

( Nota para la edición ): Agradezco a @ user760870 por aclarar que mi uso de la palabra "integral" fue impreciso.