Hace $\mathbb{F}_p((X))$ sólo tiene un número finito de extensiones de un grado determinado?

Question

Sabemos que $\mathbb{Q}_p$ sólo tiene un número finito de extensiones de un grado dado en su cierre algebraico. ¿Es lo mismo para $\mathbb{F}_p((X))$ ?

Answer 1

No. Hay infinitas extensiones de grado $p$ . Sea $K = {\mathbf F}_p((X))$ y $\wp(y) = y^p - y$ (operador de Artin--Schreier, que es aditivo en la característica $p$ ). Para $c \in K - \wp(K)$ el polinomio $T^p - T - c$ es irreducible en $K[T]$ y su campo de división sobre $K$ tiene grado $p$ . Durante dos $c$ y $c'$ en $K - \wp(K)$ los campos de separación de $T^p - T - c$ y $T^p - T - c'$ en un cierre algebraico de $K$ son iguales si $c = mc'$ en $K/\wp(K)$ para algunos $m \in \mathbf F_p^\times$ , lo que significa $c = mc' + b^p-b$ para algunos $m$ en $\mathbf F_p^\times$ y $b$ en $K$ . El grupo cociente $K/\wp(K)$ es infinito, y en particular las potencias recíprocas $1/X^n$ para $n$ positivo y no divisible por $p$ tienen distintos $\mathbf F_p$ -se extiende en $K/\wp(K)$ . Esto se discute en la sección 1 de http://math.stanford.edu/~conrad/248APage/handouts/weirdfield.pdf .

Sólo hay un número finito de extensiones de cada grado relativamente primera a $p$ en ${\mathbf F}_p((X))$ en un cierre algebraico, por la misma prueba que sobre ${\mathbf Q}_p$ . Cuando se trata de extensiones de grado divisible por $p$ en la característica $p$ ten cuidado.

Answer 2

Dado que en un principio me llevaron por el mal camino intento aprender algo señalando (del artículo en el enlace de Ted) un paso que no se generaliza a nuestro caso. Muestro cómo he localizado lo que creo que es el punto clave utilizando un ejemplo. Utilizo un subconjunto de los infinitos grados no isomórficos $p$ ampliación de la respuesta de KCd.

Dejemos que $n=n_\ell=p\ell-1, \ell$ un número natural, en la respuesta de KCd. Si $y$ es una raíz de $$ T^p-T-\frac1{x^n}=0,\qquad(*) $$ entonces hacemos los trucos habituales para poner esto en forma Eisenstein, así que dejemos $v=x^\ell y$ . Multiplicando $(*)$ por $x^{p\ell}$ muestra que $v$ es una raíz del polinomio de Eisenstein $$ p_\ell(T):=T^p-x^{(p-1)\ell}T-x=0. $$ Claramente $v$ y $y$ generan el mismo campo de extensión. Pero cualquier vecindad (después del mapeo en la prueba de 3.19) de $g(T)=T^p-x$ contiene todos los polinomios $p_\ell(T)$ con $\ell$ lo suficientemente grande. Ahora llegamos a un punto problemático. El polinomio $g(T)$ es inseparable. Por lo tanto, el Corolario 3.17 no se puede aplicar, por lo que no obtenemos una cobertura del espacio de parámetros $U\times P^p$ por vecindades tales que todos los polinomios de Eisenstein en una vecindad darían el mismo campo de extensión. El argumento de la prueba de 3.19 se rompe aquí (pero funciona en la característica cero, ya que la separabilidad no es un problema).

Como prof. Conrad señaló, si estamos buscando extensiones de grado coprimo a $p$ Este problema (inseparabilidad) no se plantea.

Answer 3

Sí, las propiedades clave son (1) que el campo es completo con respecto a una valoración no arquimédica y (2) que el campo de residuos es finito. Con estas dos propiedades en la mano, entonces la misma prueba que para $\mathbb{Q}_p$ pasa. Véase (por ejemplo) esta prueba (Teorema 3.19).

EDIT: Como otros han señalado, esto no es del todo correcto; la prueba falla para extensiones de grado divisible por $p$ . Ver otras respuestas.