Dejemos que $V$ sea una representación dimensional finita no nula, es decir, tenemos un homomorfismo $\rho\colon A\rightarrow \text{End}_k(V)$ de un álgebra $A$ . Tengo que demostrar que hay una sub-representación irreducible. Así es como quería hacerlo:
Dejemos que $v\in V$ y mira $W=\text{span}\{\rho(a)(v)\colon a\in A\}$ . Se trata de un subespacio lineal de $V$ y por construcción es una sub-representación. Pero todavía no es irreducible. Pensé que debía continuar este proceso, así que tome de nuevo otro vector en $W$ y considerar la misma construcción de una sub-representación. No entiendo cómo debo continuar esto o si esto me va a ayudar a resolver este problema. También debería utilizar en algún lugar la finitud de la representación ya que no se mantiene para representaciones de dimensión infinita. Necesito ayuda. Gracias.
