Encuentra f(z) donde Z= X+Y

Question

Dejemos que $f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{8}$ para $-2<x<2$ y $0<y<2$ . Encuentre $f(z)$ donde $Z = X+Y.$

¿Debo encontrar primero el marginal de X e Y, y luego $$f(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x)dx ?$$

Answer 1

Porque la distribución conjunta de $X$ y $Y$ es uniforme en su soporte [el rectángulo con vértices en $(-2,0)$ y $(2,2)$ ], no es difícil encontrar la FCD de $T = X + Y$ directamente.

Véase la figura siguiente: Arriba a la izquierda: Los puntos ilustran la distribución uniforme de $(X, Y)$ en el rectángulo de apoyo. Arriba a la derecha; Modificado para ilustrar que $P(T < 1) = 1/2.$ Otros valores de $F_T(t) = P(T \le t)$ se puede encontrar de forma similar; hay tres casos para $t$ . Abajo a la izquierda: Un histograma de un millón realizaciones simuladas de $T$ sugiere que la PDF de $T$ se compone de tres piezas lineales para $(-2,0),\,(0,2),$ y $(2,4),$ respectivamente. Abajo a la derecha: El empírico CDF de $T$ sugiere la forma del FCD.

Answer 2

$$F_Z(z) = P(X+Y \leq z) = \iint_{x+y \leq z} f_{XY}(x,y)\text{dxdy} = \iint_{x+y \leq z} \frac{1}{8}\text{dxdy}$$

Sólo hay que averiguar los límites de integración y luego

$$f_Z(z) = \frac{d}{dz}F_Z(z)$$