Anillo de gérmenes e isomorfismo inducido

Question

Sea $A$ el anillo de gérmenes de funciones analíticas reales en $0\in\mathbb R$. Sea $x\in A$ la función identidad en $\mathbb R$. ¿Cómo puedo mostrar que el mapeo $f\mapsto \sum_n(f^{(n)}(0)/n!)T^n$ de $A$ a $\mathbb R[[T]]$ es inyectivo y que induce un isomorfismo de la completación adic del ideal $xA$ de A en $\mathbb R[[T]]$? ¿Y por qué esto es falso si reemplazamos $A$ por funciones $C^\infty$ en $0$? Qing Liu: Algebraic Geometry and Arithmetic Curves problema 1.3.3.

Answer 1

Para la primera pregunta: el mapa es inyectivo simplemente porque el núcleo es el conjunto de gérmenes de funciones analíticas cuyas derivadas en $0$ son todas cero, y claramente solo hay un germen así. Para mostrar que el mapa es sobreyectivo en la completación, es suficiente demostrar que es sobreyectivo módulo potencias de los ideales maximales. ¿Puedes hacerlo?

Para la segunda pregunta: Existe un teorema famoso de Borel que dice que cada serie formal en $\mathbb R[[T]]$ es la serie de Taylor de una función $C^\infty$. De esto se sigue fácilmente que en el caso de $C^\infty$ el mapa no es sobreyectivo.

Answer 2

La inyectividad es trivial: si un germen se mapea a cero, entonces corresponde a una función analítica en un entorno de $0$ que tiene todas sus derivadas anuladas en cero, lo que implica por analiticidad (¡expendia la función en $0$!) que la función es cero, y lo mismo para el germen. Para ver que induce y es un isomorfismo desde la completación $(x)$-ádica a $\mathbf R[[T]]$, primero ve que si notas $\varphi$ este mapa, tienes $\varphi((x^n)) \subseteq (T^n)$ para cada $n \in \mathbf{N}$, lo que implica por definición de la completación adica $(x)$ de $B$ como límite proyectivo de $A$ que $\varphi$ se extiende a $\psi : B \to \mathbf R[[T]]$. Esta última es inyectiva por construcción ya que $\cap_{n>0} (x^n) = \{0\}$. Para la sobreyectividad, como $B = \varprojlim A / (x^n)$ y $\mathbf R[[T]] = \varprojlim \mathbf R[[T]] / (T^n)$ es suficiente ver que los mapas locales $A / (x^n) \to \mathbf R[[T]] / (T^n)$ son sobreyectivos, pero esto es trivial.

Esto es falso para funciones $C^\infty$ porque tienes funciones planas que tienen todas sus derivadas sucesivas anuladas en $0$ y que no son iguales a cero. Piensa en $x\mapsto e^{-1/x}$ extendido por cero en $\mathbf{R}_{<0}$, por ejemplo. Sus gérmenes se mapearán a $0$ por tu mapa porque esta función (ejercicio simple) tiene todas las derivadas anuladas en $0$, pero esta función es distinta de cero.

Answer 3

Media respuesta: Sea $f$ analítica, y supongamos que $f$ se lleva a $0$ mediante el mapa anterior. Entonces todas las derivadas de $f$ en $0$ se anulan y, por definición de función analítica, significa que $f\equiv0$.

La afirmación no se cumple al considerar las funciones $C^\infty$, ya que existen funciones suaves que no son la función cero, pero satisfacen $f^{(n)}(0)=0$, para todo $n$.