Demostración de la corrección de Bessel

Question

Actualmente estoy tratando de entender la prueba de la corrección de Bessel Prueba de corrección 2 y hay un paso en la demostración que no entiendo:

$$\operatorname{Var}(\bar x) = \frac{\sigma^2} n$$

Cuando lo admitimos:

$$\operatorname{Var}(x) = \sigma^2 \text{ and } \bar x = \operatorname{E}(x)$$

Si alguien puede aclarar este paso se lo agradecería mucho.

ACTUALIZACIÓN

Estoy atascado en el punto donde:

$$\operatorname{Var}(\bar x) = \operatorname{E} \left(\left(\frac{\sum_{i=0}^n x_i} n - \mu\right)^2\right) = \frac 1 {n^2} \operatorname{E} \left( \left( \sum_{i=0}^n x_i - n\mu\right)^2\right)$$

Answer 1

Lo primero que tienes que mostrar es esto: $$\frac{\sum_{i=1}^n x_i} n - \mu = \frac 1 n \sum_{i=1}^n (x_i - n\mu).$$

Al restar fracciones, utiliza un denominador común: $$\frac{\sum_{i=1}^n x_i} n - \mu = \frac{\sum_{i=1}^n x_i} n - \frac{n\mu} n = \frac{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) - n\mu} n$$ Esto es $\dfrac 1 n \left(\left(\sum_{i=1}^n x_i \right) - n\mu\right).$

A continuación, aplique una identidad relativa a las desviaciones: $$\operatorname{var}\left( \frac 1 n Y \right) = \frac 1 {n^2} \operatorname{var}(Y).$$