Repliegue de un complejo CW

Question

¿Es cierto que un repliegue de un complejo CW es un complejo CW?

No he podido encontrar un contraejemplo. Me preguntaba si tales espacios tienen alguna caracterización topológica?

Mi segunda pregunta es la siguiente:

Supongamos que $X$ es un complejo CW y $Y$ es un espacio tal que $X\times Y$ es un complejo CW. ¿Es cierto que $Y$ es también un complejo CW?

Answer 1

La respuesta a su primera pregunta es "no". He aquí un contraejemplo.

Dejemos que $C \subset [0,1]$ sea el conjunto estándar de Cantor de tercios medios.

Dejemos que $\{I_n\}_{n \in \mathbb{Z}}$ sea una enumeración de los componentes de $[0,1] - C$ un conjunto de intervalos abiertos disjuntos entre sí, y que $I_n = (a_n - \epsilon_n,a_n + \epsilon_n)$ .

En $\mathbb{R}^2$ , dejemos que $D_n$ sea el disco bidimensional cerrado con centro $(a_n,0)$ y el radio $\epsilon_n$ .

Dejemos que $X = \bigl([0,1] \times \{0\}\bigr) \cup \bigl(\bigcup_{n \in \mathbb{Z}} D_n\bigr)$ .

Este espacio $X$ es una deformación retraída de $\mathbb{R}^2$ pero no es un complejo CW, porque el cierre del conjunto de puntos de $X$ que separa $X$ es $C \times \{0\}$ pero el cierre del conjunto de puntos de separación de un complejo CW es un subcomplejo del $1$ -esqueleto, y $C$ no es un complejo CW unidimensional.