Prestacks y categorías fibrosas

Question

Parece ser un hecho bien conocido que existe una "correspondencia uno a uno'' entre los prestacks y las categorías fibrosas. En este caso, un preapilamiento (llamado pseudofuntor en SGA1) significa un functor laxo contravariante $F$ en una pequeña categoría que toma valores en el $2$ -categoría de categorías pequeñas en las que la estructura transformación natural $F(f)\circ F(g)\Rightarrow F(gof)$ es invertible.

Por ejemplo, Vistoli dice en esta nota que "la teoría de las categorías bered es equivalente a la teoría de los pseudofunctores" al final de la sección $3.1$ .

¿Es esta "equivalencia" una equivalencia de 2 categorías? Si es así, ¿dónde puedo encontrar una prueba?

Answer 1

Ahora mismo no tengo una referencia, pero espero que esta respuesta sea útil. Si no hay nada más, tal vez usted podría comentar por qué este no lo hace responder a su pregunta.

Un pseudofuntor es exactamente lo mismo que una categoría fibrosa con una elección de escote (una escisión es una elección de flecha cartesiana sobre cada morfismo en la categoría base con objetivo dado en la fibra). Es decir, hay una isomorfismo entre la (2-)categoría de pseudofuncionarios y la (2-)categoría de categorías fibrosas con escisión (donde los morfismos no tienen que respetar la escisión).

Por el axioma de elección, toda categoría fibrosa tiene una escisión, y dos elecciones cualesquiera de escisión son canónicamente isomorfas (a través del funtor de identidad; recuérdese que el funtor no necesita respetar la escisión). Por lo tanto, la categoría de categorías fibrosas con clivaje es equivalente a la categoría de categorías fibrosas, y esto es una equivalencia en el sentido 1-categórico habitual. Es decir, tienes dos funtores (el funtor olvido de escisión y el funtor elección de escisión) cuyas composiciones son naturalmente isomorfas a la identidad. No creo que necesites usar ningún tipo de 3-morfismo aunque estés tratando con 2-categorías.

Answer 2

Esto se denomina Construcción de Grothendieck . En ese enlace hay más enlaces a la declaración completa.

El enunciado completo es que la (oo,1)-categoría de (oo,1)-functores de C^op a ooCat es (oo,1)-equivalente a la de fibraitones cartesianos de (oo,1)-cats sobre C.

Answer 3

La prueba de la equivalencia de 2-categorías entre la 2-categoría de "prestacks" (cuyo significado es un pseudofuntor en el contexto de esta cuestión) y la 2-categoría de categorías con fibras se menciona en el teorema 2.2.3. del documento

Fosco Loregian, Emily Riehl, Nociones categóricas de fibrado , Expositiones Mathematicae (Disponible en línea el 14 de junio de 2019) doi: 10.1016/j.exmath.2019.02.004 , arXiv: 1806.06129 .

Aunque mi respuesta está publicada después de una década, pero sentí que esta información puede ayudar a algunos futuros lectores.

Gracias.

Answer 4

Lo que quiere decir es que, en este contexto, dado que estás considerando psuedofunctores en la categoría 2 de groupoides donde todas las celdas 2 son invertibles, los funtores laxos son lo mismo que los pseudofunctores. La terminología más moderna para los pseudofunctores es "funtor débil". Y sí, la definición de Vistoli de preapilado es un funtor débil de este tipo que se separa con respecto a cualquier topología de Grothendieck que tengas flotando por ahí -aunque, creo que esto es confuso; yo llamo a estos funtores débiles preapilados también para mantenerlos en buena analogía con los preapilados. De todos modos, hay una equivalencia entre la categoría 2 de categorías fibradas en groupoides sobre C y la categoría 2 de funtores débiles contravariantes de C a groupoides, donde la última categoría 2 tiene transformaciones naturales débiles como flechas (de modo que cada cuadrado de naturalidad está fijado por una célula 2 (necesariamente invertible en este contexto), y las llamadas "modificaciones" como células 2. No estoy seguro de que haya una referencia para esta equivalencia, pero, deberías ser capaz de explicarlo tú mismo :-).

Answer 5

En

John Walter Gray, Categorías de fibras y cofibras , en: Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla 1965 (1966) doi: 10.1007/978-3-642-99902-4_2

en las páginas 32-33 hay una breve tractación (no hay pruebas, pero son elementales, puede ser tedioso), sobre su pregunta. En resumen:

Fibración (por clivage ) corresponden a pseudofunctores (véase http://ncatlab.org/nlab/show/lax+natural+transformación ) y los funtores cartesianos ( clivage -) se identifican con la pseudo-trasformación natural,

Creo que: 1) más en general los funtores entre la fibración (triángulo functorial conmutativo) se identifican por la colaxo-transformación natural.

2) Por naturalidad y funtorialidad de las imágenes inversas se sigue que las trasformaciones naturales entre funtores cartesianos se identifican por modificación entre la pseudo-transformación natural asociada.

Disculpe mi mal inglés.