Encontrar la densidad conjunta de las variables dependientes

Question

Tengo dos variables aleatorias, $x$ y $y$ , donde $x=u(y)$ y $y=v(x)$ . ¿Cómo puedo encontrar la densidad conjunta de las dos variables?

El objetivo final es encontrar la integral

$\int^a\int^b f(x,y) dydx$ ,

donde $f(.)$ es dicha función de densidad conjunta.

Esta pregunta está relacionada ( la distribución conjunta de las variables aleatorias dependientes ) pero todavía estoy un poco confundido por la respuesta. Efectivamente, estoy buscando $Prob(x \leq a, y \leq b)$ pero no entiendo cómo puedo llegar allí sin conocer el PDF primero.

Cualquier consejo es muy apreciado. Muchas gracias de antemano.

Answer 1

...dos variables aleatorias, $X$ y $Y$ , donde $X=u(Y)$ y $Y=v(X)$ .

Este es un escenario muy peculiar ya que puede ocurrir que la distribución de $(x,y)$ se concentra realmente en un punto. Por ejemplo, si las funciones son $u:y\mapsto3y-1$ y $v:x\mapsto2x-3$ El único $(x,y)$ tal que $x=u(y)$ y $y=v(x)$ es $(2,1)$ .

El conjunto de soluciones de $x=u(y)$ y $y=v(x)$ incluso podría estar vacío...