Esta definición de función de protuberancia se da en "Introduduction to Manifolds" de Loring W. Tu : Dado un punto $ p $ en un colector $ M^n$ una función de bache en $p$ apoyado en $V$ es cualquier función no negativa $ \rho: M \rightarrow \mathbb{R} $ que es idéntico $ \mathbf{1} $ en algún barrio de $ p $ con $ supp (\rho) \subset V $ .
Entiendo el proceso de creación de un $C^\infty$ función de bache en $R$ y $R^n$ Pero cuando paso a los colectores, ocurre lo siguiente:
Tome $V$ un barrio de $p$ y $(\varphi,U)$ un gráfico sobre $p$ tal que $V \subset U$ . Tenemos un $C^\infty$ función de choque $\rho:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ en $\varphi(p)$ que es idéntico $\mathbf{1}$ en la bola cerrada $B[\varphi(p),a]$ apoyado en $B[\varphi(p),b]$ con $a<b<d(\varphi(p),\partial \varphi(V))$ . Y ahora, la composición $\rho \circ \varphi:U\rightarrow \mathbb{R}$ tener dominio $U$ no $M$ como deseo.
¿Me estoy olvidando de hacer algo aquí? Por ejemplo, considerar la extensión nula de $\varphi$ en $M$ ... Pero, si este es el caso, ¿qué me garantiza que la composición $\rho \circ \varphi:M\rightarrow \mathbb{R}$ será diferenciable? Sé que $\varphi:U\rightarrow \varphi(U)$ un difeomorfismo, pero no puedo resolver el problema del dominio.
Gracias.
