Prueba de que el valor absoluto de una variable aleatoria es una variable aleatoria

Question

¿Esta prueba es correcta?

Prueba:

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria en un espacio de probabilidad $\{\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}\}$ . Supongamos que $x \in \mathbb{R}$ y $x \geq 0$ . Entonces $\{|X| \leq x\} = \{X \leq x \} \cap \{X < -x \}^c$ . Desde $X$ es una variable aleatoria $\{X \leq x \} \in \mathcal{F}$ y $\{X < -x \}^c \in \mathcal{F}$ . Desde $\mathcal{F}$ es un $\sigma$ -campo, la intersección $\{|X| \leq x\} = \{X \leq x \} \cap \{X < -x \}^c$ también pertenece a $\mathcal{F}$ . Así, $|X|$ es una variable aleatoria. $\square$

Answer 1

Su prueba es correcta.

También podría haber argumentado con esta afirmación más general: Si $X$ es una variable aleatoria y $f$ es continua, entonces $f(X)$ es una variable aleatoria [suponiendo que se elige el álgebra de Borel-sigma en el dominio y el rango de $f$ ].