Demostración de la anticoncentración para la norma del operador de una matriz aleatoria

Question

Si $X$ es una matriz aleatoria, entonces me gustaría encontrar $\theta >0$ y $\delta \in (0,1)$ s.t puedo decir, $$\mathbb{P} \Bigg [ \Big \vert \Vert X \Vert - \mathbb{E} [ \Vert X \Vert ] \Big \vert > \theta \Bigg ] > 1 - \delta $$

• Me gustaría conocer ejemplos en los que tal cosa sea conocible.
• Estoy especialmente interesado en $X$ siendo PSD - mejor si hay la menor suposición posible de independencia mutua entre las entradas.

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Para ser explícitos tenemos, $\Vert X \Vert = \text{largest singular value of } X = \lambda_{\max}(X^\top X)$

Answer 1

Como el interés está en un PSD $X$ , déjame tomar $X=WW^{\rm T}$ con los elementos del $N\times M$ matriz $W$ i.i.d. con media cero y varianza $\sigma^2$ . Obsérvese que los elementos de $X$ no son independientes. La distribución del mayor valor propio $x_{\rm max}$ de $X$ es conocido, véase Distribución del mayor valor propio para matrices aleatorias reales de Wishart y de Gauss y una aproximación sencilla para la distribución de Tracy-Widom .

Para $N,M\rightarrow\infty$ con una proporción fija $N/M$ la distribución $P(x_{\rm max})$ tiene un pico estrecho en $$\mu=(\sqrt{M-1/2}+\sqrt{N-1/2})^2\sigma^2,$$ con la anchura $$\delta=\sqrt{\mu}\,\biggl(\frac{1}{\sqrt{N-1/2}}+\frac{1}{\sqrt{M-1/2}}\biggr)^{1/3}.$$ Así que $\mu$ es de orden $N$ mientras que $\delta$ es de orden $N^{1/3}$ , lo que significa un concentración de $x_{\rm max}$ en la media.