¿Existe una colección de conjuntos medibles no necesariamente anidados, pero convergentes, tal que no podamos permutar la medida y el límite

Question

Sabemos que para $\{E_n\}_{n\geq0}$ Conjuntos medibles de Lebesgue s.t. $E_0\subset E_1\subset...$ tenemos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}E_n=\bigcup\limits_{n=0}^{\infty}E_n$ y $\mu(\lim E_n)=\lim(\mu(E_n))$

Del mismo modo, si $E_0\supset E_1\supset...$ y $\mu(E_0)<\infty$ tenemos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}E_n=\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}E_n$ y $\mu(\lim E_n)=\lim(\mu(E_n))$

¿Pero qué pasa si perdemos la propiedad de la anidación? ¿Cuáles serían algunos ejemplos interesantes de colecciones de conjuntos en los que no podemos permutar el límite y la medida de Lebesgue?

Answer 1

Un ejemplo: $E_n=[n,n+1]$

Entonces $\mu(E_n)=1$ por cada $n$ pero $\lim_{n\to\infty}E_n=\varnothing$ para que $\mu(\lim_{n\to\infty}E_n)=\mu(\varnothing)=0$ .

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Con el lema de Fatou se puede demostrar que: $$\mu(\liminf E_n)\leq\liminf\mu(E_n)\tag0$$

Si algunos $c>0$ y algún número entero $n_0$ existe tal que $n>n_0\implies E_n\subseteq[-c,c]$ entonces también se puede aplicar en los conjuntos $[-c,c]-E_n$ que conduce a: $$\mu(\liminf E_n)\leq\liminf \mu(E_n)\leq\limsup\mu(E_n)\leq\mu(\limsup E_n)<\infty\tag1$$

Se trata de una secuencia convergente de conjuntos medibles si $\liminf E_n=\limsup E_n$ así que en ese caso $(1)$ implica que: $$\mu(\lim E_n)=\lim \mu( E_n)$$

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Esto te demuestra que es de alguna manera inevitable llegar a "conjuntos que desaparecen hasta el infinito" para un ejemplo que tú pides.