¿Están los principales subgrupos de congruencia de SL(2,Z) normalmente generados por un solo elemento?

Question

Dejemos que $N\ge 3$ entonces, ¿estaría en lo cierto al decir que el subgrupo de congruencia principal $\Gamma(N)$ (definidas como las matrices 2x2 en $SL(2,\mathbb{Z}$ ) congruente con la identidad mod $N$ ) es el subgrupo normal más pequeño de $SL(2,\mathbb{Z}$ ) que contiene la matriz $[[1,N],[0,1]]$ ?

Edición: Empiezo a sentir que esto es falso. Si es falso, ¿hay una manera de describir los generadores que no son parabólicos (es decir, conjugado a $[[1,N],[0,1]]$ )?

Answer 1

Si $X(N)$ tiene el género $g$ entonces $\pi_1(X(N))^{ab} = \mathbb Z^{2g}$ y $\pi_1(Y(N))^{ab} = \mathbb Z^{2g + s -1}$ , donde $s$ es el número de cúspides. Como $\pi_1(Y(N)) = \Gamma(N)$ para $N\geq 3$ Debe ser que $\Gamma(N)^{ab} = \mathbb Z^{2g+s-1}$ . En particular, $\Gamma(N)$ no puede ser generado por menos de $2g+s-1$ elementos.